极限理论

极限理论（精选九篇）

极限理论 篇1

概率论是从数量上研究随机现象的规律性的数学学科, 它在自然科学、技术科学、社会科学和管理科学中都有广泛的应用, 因此从20世纪三十年代以来, 发展非常迅速, 而且不断地有新的分支学科出现。概率极限理论就是其中一个主要的分支, 也是概率统计学科中极为重要的基础理论。关于经典的独立随机变量的概率极限理论, 在20世纪三四十年代已获得完善的发展, 其基本结果被总结在Gnedenko和Kolmogorov的专著《相互独立随机变量和的极限分布》[1]及Petrov的专著《独立随机变量和的极限定理》[2]中。事实上, 非独立的随机变量和的极限分布也曾被若干概率统计学家所研究, 如Hopf[3], Hoeffding和Robbins[4]等。但由于在许多实际问题中, 经常会遇到非独立随机变量的情形。因此, 在50年代, 随机变量的相依性概念就已在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来, 并引起了许多概率统计学家的兴趣和研究, 取得了不少研究成果, 1997年以前的许多结果被总结在陆传荣、林正炎的专著《混合相依变量的极限理论》[5]中。而其中的随机变量可交换性已成为当前概率极限理论研究的重要的方向之一。

1 可交换随机变量的研究进展

随机变量可交换性的概念最早是由De Finetti[6]在1930年提出来的, 可交换随机变量无限序列著名的特性是其基本结构定理De Finetti定理, 即可交换随机变量的无限列以其尾σ-代数为条件是独立同分布的。但在早期随机变量的可交换性并没有引起概率学者们的注意, 人们对可交换性了解还很片面。正如Alouds所指出的那样:“如果你在1970年问及一概率学者, 可交换性讲些什么内容?你得到的回答很可能是, 除了De Finetti定理外, 还有什么呢?”人们利用De Finetti定理已作出了一些结果。但是值得指出的是De Finetti定理仅对可交换随机变量无限列成立, Chernoff和Teicher已经给出了例子说明:存在这样的可交换随机变量有限列, 它不能嵌入到可交换随机变量无限列中去, 因此, 对于可交换的有限列, 必须寻找另外的办法解决其渐近性质的问题, 人们利用逆鞅的方法已给出了这方面的一些结果。

既然可交换随机变量无限列是条件独立同分布的, 当然可以期望可交换随机变量无限列具有类似于独立同分布列的一些性质。许多学者已经把独立同分布随机变量的一些结论推广到了可交换随机变量。

概率论既是观察世界的一种基本方法, 也象几何、代数和分析一样是一门核心数学学科, 最近几年, 作为科学探索的一种独具特色的方法, 概率推理的显著功效已经导致了概率理论在科学研究中的重要性的增加, 并且一直在统计学中起中心作用。在物理学、遗传学和信息论中所常见的概率方法, 最近已经在许多其他学科, 包括金融、地球科学、神经学、人工智能和通讯网络中成为不可缺少的方法, 概率论的影响越来越大。概率极限理论是概率论的主要分支之一, 也是概率论的其它分支和数理统计的重要基础。前苏联著名数学家科尔莫戈罗夫和格涅坚科在评论概率论极限理论时曾说过:“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示, 没有极限定理就不可能去理解概率基本概念的真正含义。”极限理论的基本内容是每一个概率统计工作者必须掌握的知识与工具。19世纪20年代以前, 中心极限定理是概率论研究的中心课题, 经典极限理论是概率论发展史上的重要成果。近代极限理论得研究方兴未艾, 它不仅深化了经典理论的许多基本结果, 也极大地拓展了自己的研究领域, 极限理论仍是众多学者研究的重要课题之一。

2 国内外研究现状及分析

概率极限理论一直以来就是众多学者研究的课题, 得到了许多深刻而有实际意义的结果。由于独立随机变量有着优良的极限性质, 因此人们对这类随机变量已获得许多经典的结果, 象Talor, Katz和Baum, Robbins和Hsu等, 另外Petrov的专著《独立随机变量和的极限理论》, Gnedenko, Kolmogorov的专著《相互独立随机变量和的极限分布》也都介绍了有关独立随机变量极限理论方面的丰富内容。随着概率极限理论方面的不断完善和发展, 概率测度收敛和强逼近理论等现代极限理论也被许多学者研究;源于实际问题的需要, 相依随机变量引起了人们广泛的关注, 如Bernstein, Hopf, Blum, Chernoff, Teicher, Weber, Peligrad, Joag-Dev和Lai等学者对此做过系统而深入的研究。与此同时, 国内许多学者像林正炎, 邵启满, 张立新, 苏中根, 苏淳等也做了大量深入地研究, 并获得了一系列完美的结果。

De Finetti在1930年最早提出了可交换性的概念, 并且给出了可交换随机变量无限序列的基本结构定理De Finetti定理, 它指出可交换随机变量无限序列以代数为条件是独立同分布的。之后许多学者对可交换做了一系列研究, Blum等得到了可交换随机变量序列满足中心极限定理的充要条件, Taylor给出了按行可交换 (即对固定的每一行, 都是一列可交换随机变量序列) 随机变量组列的大数定律, 以及配重和的极限定理, Taylor和Hu也给出了可交换随机变量的强大数定律成立的充要条件, 利用Berry-Esseen方法讨论了可交换随机变量序列部分和的中心极限问题, 得到了可交换随机变量序列部分和的分布收敛到正态分布的最优收敛速度。鞅方法和逆鞅方法在概率极限理论中是很重要的, 自从Weber首先利用鞅方法研究可交换随机变量列的中心极限定理以来, 人们普遍注意到了鞅方法的重要性, Partterson和Taylor利用逆鞅方法讨论了实值和B-值可交换列的大数定律, Eagleson利用鞅方法讨论了可交换列的弱收敛性, 李应富和王向忱利用了逆鞅和截尾方法在较弱的矩条件下讨论了行-列可交换随机变量组列的大数定律, 由此也得出了类似于Mcginley和Sibsoh的结果。

摘要：本文主要介绍了近代概率极限理论发展状况, 以及可交换随机变量国内外研究现状。

关键词：可交换,独立同分布,概率论,极限理论

参考文献

[1]B.V.Gnedenko, A.M.Kolmogorov.Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables.Nauka, Moscow (Russion) , 1949, English Edition:Reading, Mass:Addision-wesley, 1954[M].

[2]A.Gut.Precise Asympototics for Record Times and the Associated Counding Process[J].Stoch Proc Appl, 2002 (101) :233-239.

极限理论 篇2

引

言 ········································································································· 1

一、基本概念与基本理论 ············································································ 2(一)函数极限 ··························································································· 2(二)重要极限 ··························································································· 9(三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10(四)Stolz定理的推广定理 ···································································· 11

二、习题类型与其解题方法归纳 ······························································ 11(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。················· 12(二)根据定义与极限性质证题的方法 ·················································· 14(三)求函数极限方法 ············································································· 15(四)判断函数极限存在与不存在的方法 ·············································· 20 参考文献： ································································································· 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other.Function emerged for the need of describing this relation.The thory of function limit plays a key role in function theory.There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing.It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis.This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods.Key words: Function Limit

Method

引

言

“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x的函数记为f(x),(x)等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y与变量x的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。

一、基本概念与基本理论

（一）函数极限

1．函数正常极限与非正常极限定义共4624个，它们的形式是：

xx0xx0xx0xxxlimA(A为有限数)可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。

(1)四个基本定义

定义1(M定义)设f是定义在[a,)上的函数，A是一个确定的数，若0，M0，当xM时，有f(x)A，则称函数f当x时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(x)，或

xf()A。

此时也称A为f在正无穷远处的极限。

注1 此M定义，是数列极限limxna之N定义的推广，只

n需将N定义中之n换为x，N换为M即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故n,N均为自然数集的成员，而函数f(x)的定义 域为实数集，因而改为R中之x，m来描述。

注2 定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点x0处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述xM改为x0的空心邻域的描述0xx0即可，因变量刻划相同。

定义2(双侧极限定义)设函数f在点x0的某个空心邻域U0(x0,)内有定义，A是一个确定的数。若0,0,()，当0xx0时，有f(x)A，则称f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A，或f(x)A(xx0)。

xx0问题1 在limf(x)A的定义中，为什么限定xx00(即xx0)？xx0如果把此条件去掉，写作“当xx0时，有f(x)A”是否可以？［3］

答：不可以，极限limf(x)A的意义是：当自变量x趋于x0时，对

xx0应的函数值f(x)无限接近常数A。f(x)在x0的情况，包括f(x)在x0是否有定义，有定义时，f(x0)等于什么都不影响xx0时，f(x)的变化趋势，故应把xx0这一点排除在外。如果把此条件去掉，把limf(x)A的定义

xx0写作“0，0，当xx0时，有f(x)A”，则当xx0时，也有f(x)A，由的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)A，这个条件显然与xx0时，f(x)的变化趋势是不相干的。

定义3(单侧极限定义)设函数f在x0,x0［或x0,x0］内有定义，A是一个确定的数，若0,0()，使当0xx0(或0x0x)时，有f(x)A，则称f在x趋于x0(x0)时以A为右(左)极限，记作limf(x)A，或f(x00)A(limf(x)A或

xx0xx0 3 f(x00)A)。

注3 定义3中右极限(左极限)，则xx0xx0；f定义在x0的右侧，对于左极限，f定义在x0的左侧，则xx0x0x，于是定义2是关键，只要考虑到“单侧”这一特点。

定义4(无穷大量G定义)函数f定义在x0的某个空心临域U0(x0,)内，若G0，使当0xx0时，有f(x)G，0()，则称f当x趋于x0时有非正常极限，或称f当x趋于x0时为无穷大量(或发散到无穷大)，记作limf(x)或f(x)(xx0)。

xx0(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。

自变量变化趋势及其刻划六种 ：

xx0xx0xx0xxx0xx00xx0(0)0x0x xMxM(M0)xM因变量变化趋势及其刻划四种：

f(x)Af(x)f(x)f(x)f(x)A(0)f(x)G f(x)G(G0)f(x)G将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配，而构成24种，每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述，即得24个定义。

2、正常极限性质(共48个或60个)按华东师大教材，每一种类型极限有8个性质来计算，六种类型极限总共有48个性质。再加上重要的“绝对值性”与“单调有界定理”，则共计60个性质。

前面是按照极限类型而言；若按照性质类型而言，对照数列极限性质，函数极限性质总共8种(或10种)：存在性、唯一性、局部保号性、局部有界性等等，每一种，按六类极限形式又有六类形式，总计仍是48个或60个性质。无论是48个还是60个性质，看似很多，实际上只要扣住前述自变量变化趋势刻划六种，再将数列极限相应性质移过来，这些性质均不难掌握了。

教材中是就极限类型limf(x)A而给出8个性质，这里，再就极限

xx0xlimf(x)A而给出。

极限limf(x)A的性质：

x(1)存在性——三个存在定理

I两边夹定理 设xa,，均有y(x)f(x)z(x)，且xlimz(x)limy(x)A，则limf(x)A

xxII柯西准则

设函数f在[a,)内有定义，则limf(x)存在x0,M0，当x,xM时，有f(x)f(x)。

III单调有界函数定理

设函数f在[a,)内单调且有界，则limf(x)x存在。

注4 单调有界函数定理在有限点x0处为：若函数f(x)在包含x0的某一区间单调有界，则f(x)在x0的左、右极限必存在。

这里是左、右极限存在，但在x0的极限不一定存在，这是与数列单 调有界必收敛定理之区别。

(2)唯一性

若limf(x)存在，则它只有一个极限。

x(3)局部有界性

若limf(x)存在，则M0，在M,内，f有界。

x(4)局部保号性 若limf(x)A0(0)，则对任何

x当xM时，有f(x)A0［或f(x)A0］。AA0(AA0),M0，(5)不等式性

若limf(x),limg(x)均存在，且M0，当xM时，xx有f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)。

xx(6)四则运算法则

若limf(x),limg(x)均存在，则fg,fg,xxf［仅g除法还要求limg(x)0］在x时极限也存在，且有

xxxlim(f(x)g(x))limf(x)limg(x),xxlimf(x)g(x)limf(x)limg(x),xx

f(x)f(x)xlimlimxg(x)limg(x)x(7)归结原则

设函数f在[a,)上有定义，则limf(x)A对任何

xxn[a,),xn，都有limf(xn)A，其中A为有限数。

n推论 设f在[a,)上有定义，则limf(x)存在对任何xn[a,)，xxn，limf(xn)均存在。

n注5 归结原则与数列情形之“数列极限与其子列极限关系定理”类似，均是在揭示整体与部分的关系这一意义上而言的。

(8)绝对值性

若limf(x)A，则limf(x)A，且

xxxlimf(x)0limf(x)0

x

3、无穷小量与无穷大量

6(1)无穷小量

若limf(x)0，则称当xx0时f为无穷小量。

xx0无穷小量的四则运算性质：

(i)两个无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。(ii)无穷小量与有界变量之积为无穷小量。

(iii)两个无穷小量之商的极限为下述四种情形之一：有限实数a0,0,,不存在，此即无穷小量的阶的比较。

无穷小的阶的比较，是考察它们收敛于零的速度的快慢。设xx0时，f,g均为无穷小量，则

a0,称f与g为同阶无穷小（当xx0时)f(x)0,称f为比g的高阶无穷小（当xx0时)limxx0g(x),称f为比g的低阶无穷小（当xx0时)不存在其中，当a1时，又称f与g为等价无穷小(当xx0时)，记作f(x)~g(x)(xx0)。

若limxx0f(x)l0，l为有限数，n0，则称 f为关于基本无穷小gng(x)的n阶无穷小，n通常为正有理数。

注6 在应用极限运算的四则运算法则时，初学者会写出“0,1”等式子。这是不对的。出现这类“错误”的主要原因是将符号“”误认为一个常数，对它施行了数的运算法则。事实上，“”不是一个常数，而是表示绝对值无限增大的变量，记号“”表示两个绝对值无限增大的变量之差，仍是一个变量。同样地，记号“示两个绝对值无限增大的变量之商，仍是一个变量。

”表问题2 下面的极限运算对吗？［3］

limx2sinx011limx2limsin0

x0xx0x1x答：结果正确，表达错误，这是因为limsin不存在，不能利用积的x0极限运算法则，则可以这样表达：因为limx20，sinx011，所以x1limx2sin0。x0x问题3 如果数列an收敛，数列bn发散，那么数列anbn是否一定收敛？如果数列an和bn都发散，那么数列anbn的收敛性又怎样？［3］

答：在两种题设情形下，数列anbn的收敛性都不能肯定，现分析如下：

情形

1、数列an收敛，数列bn发散。

若liman0，则数列anbn必定发散，这是因为若数anbn收敛，且nliman0，则由等式bnxanbn及商的极限运算法则立即可知数列bn收an敛，与假设矛盾。

若liman0，则数列anbn可能收敛，也可能发散。例如，x(1)an,bnn(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(2)an,bn(1)nn(nN),anbn(1)n(nN)，于是数列anbn发散。

情形2 数列an和bn都发散。1n1n若数列an和bn中至少有一个是无穷大，则数列anbn必定发散。这是因为若数列anbn收敛，而数列an为无穷大，从等式bn得limbnlimanbnlimnnanbn便推an10，与假设矛盾。nan若数列an和bn都不是无穷大，则数列anbn可能收敛，例如，(3)anbn(1)n(nN),anbn1(nN)，于是数列anbn收敛。

(4)an(1)n,bn1(1)n,(nN),anbn(1)n1(nN)，于是数列anbn发散。

4、几个关系

(1)函数极限与数列极限的关系——归结原则(2)单侧极限与极限的关系

xx0limf(x)Alimf(x)与limf(x)均存在相等，均为A。

xx0xx0(3)无穷大量与无穷小量的关系(倒数)(二)重要极限

1sinx1lim1,lim1e,lim1xxe。x0xx0xxx前者为型的未定式的极限，后两式为1型的未定式的极限。问题4 讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？［3］ 答：一般说来，讨论函数f(x)在x0点的极限，都应先看一看单侧极限的情形。如果当xx0时，f(x)在x0两侧的变化趋势一致，那么就不必分开研究；如果f(x)在x0两侧的变化趋势可能有差别就应分别讨论记左、右极限。例如，求分段函数在分段点处的极限时，必须研究左、右00 9 极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，tanx在x2的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，1arctan,ex在x0处的左、右极限都不一样。

x1(三)函数的上极限与下极限

1、概念

设函数f在x0的某个空心临域U0(x0,)内有定义，则定义xx0limf(x)limsupf(x)M，limf(x)liminff(x)m

0xU0(x0,)xx00xU0(x0,)其中M,m为有限数或或，特别当f在U0(x0,)内有界时，［1］ M,m均为有限数。

2、性质(1)上极限性质

设limf(x)M,M为有限数，则(I)0,0,当0xx0时，xx0有f(x)M；(II)0，在x0的每一个空心临域内，必有x，使得f(x)M

(2)下极限性质

设limf(x)m,m为有限数，则(I)0,0，使当0xx0时，xx0有f(x)m；(II)0，在x0的每一空心临域内，必有x，使得f(x)m。

3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。

xn为此邻域内的任意定理

设函数f在x0的某空心临域内有定义，点列，xnx0(n)，则对应于一切这种点列xn，limf(xn)所成数

n集必有最大值(包括或)，limf(xn)所成数集必有最小值

n 10(包括或)，f在x0的上(下)极限即为这最大(小)值。

4、上(下)极限与极限的关系。

xx0limf(x)llimf(x)limf(x)l，l为有限数或或。

xx0xx0(四)Stolz定理的推广定理

定理

设(i)函数f，g定义于[a,)，且均在[a,)的任意子区间有界。

(ii)对一切x[a,),g(xT)g(x)，其中T为一正常数，(iii)limg(x)，x(iv)limxf(xT)f(x)f(x)l(有限数或或)，则liml。［5］

xg(xT)g(x)g(x)可见，(ii)、(iii)两条是stolz第二定理之“bn”的推广，(iv)是“limanan1l”之推广。

nbbnn1而此stolz定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为lim型及xf(x)存在，而在这里，f只要定义于[a,)，且在[a,)上的任意子g(x)f(xT)f(x)l即可。

g(xT)g(x)区间上有界，g(x)(x)，及limx

二、习题类型与其解题方法归纳

关于函数极限的习题类型大致有：

(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。(二)根据极限定义与极限性质证题。(三)求函数极限。

(四)判断函数极限存在与不存在。此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。

这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：0(或G0)，找0(或M0)，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找或M，找法如下。

1、当f以具体形式给出时，扣住 因变量变化趋势之刻划f(x)Gf(x)Gf(x)f(x)f(x)A,f(x)G，分析并对f(x)A,f(x)进行恒等变形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)f(x)zx，其中y为正无穷小量，z为正无穷大量，令y(x)，f(x)zx0xx0,xM或z(x)G；再扣住 自变量变化趋势之刻划。0xx0,xM对不

0x0x,xMxx0()等式g(x)或不等式z(x)G，关于xx0解之，解得xx0()，取

x0x()xx(G)()或关于x，解之，解得x(G)，取M(G)。

xx(G)2．抽象论证找或找M法

f(x)当f是以抽象形式给出时，与1类似，对f(x)A,f(x)进行恒等变

f(x)

f(x)z(x)形或加强不等式，使之变成f(x)Ay(x)，f(x)z(x)，其中y为已知

f(x)z(x)正无穷小量，z为已知正无穷大量，利用此y或z确定抽象的或M。确定或M的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定或M。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定或M。(III)三角不等式及其它。

可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。

例

1、设f在任一有限区间上Riemann可积，且limf(x)A，证明

x1xlimf(t)dtA，(上海交大1987)。xx0x分析

要证：0,M0，当xM时，有If(t)dtA，x01x1x1x1x而If(t)dtAdt(f(t)A)dtf(t)Adt；由f(x)A不x0x0x0x0难联想到已知limf(t)A，于是10,M00当tM0时，有tf(t)A1，而，由于I10(x)，则20,M1M0，当xM1时，1x有I12；又由于I11dt1，再考虑要证I，则取12及

2x0取MM1。

证明：0，因limf(t)A，则M00，当tM0时，有

tf(t)A2。

M0因f 任一有限区间上Riemann可积，则

0f(t)Adt为定数，于是1limxx M00f(t)Adt0，因而MM0，当xM时有 1I1xI1M00xf(t)Adt2,x11xM0f(t)AdtdtxM0xM022x2

由此有：当xM时，1x1x1xf(t)dtAf(t)dtAdtx0x0x01x1x(f(t)A)dtf(t)Adt x0x0I1I2221x即limf(t)dtA xx0——抽象法证找M法(利用已知极限分段处理)。(二)根据定义与极限性质证题的方法

这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用,G等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。

例2 设f在0,内满足f(x)f(x2)，且有x0limf(x)limf(x)f(1)。

x证明：f(x)f(1),0x。

分析

证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬f(x)f(x2)，不难得到：当x1是，x2(n)，当0x1时，x20(n)而找矛盾。nn证明

反正法

假设f(x)f(1)，则至少存在一点x00,，使f(x0)f(1)，则 f(x0)f(1)或f(x0)f(1)，且显然x01，下面只证f(x0)f(1)的情形，f(x)f(1)的情形同理可证。

(I)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0)0,10，x0当0x时，有f(x0)f(1)f(x)f(1)

(1)，因

ln2nx0(n)，则对0，Nlog2lnx0，当nN时，有0x0；2n022，于是由(1)知不妨取n0N1及取xx0，则显然0xx0n0n0f(x0)f(x)f(x2n00)f(x0)矛盾。

x(II)当x01时，因limf(x)f(1)，则对f(1)f(x0),M10，当xM时，有f(x0)f(x)f(1)

(2)因xlnMM0，Nlog2lnx02n0(n)，则对

，当2n0nN时，有xx0M，不妨取n0N1及取xx盾。2n002n02M，于是由(2)知f(x0)f(x)f(x0)f(x0)，矛，则xx0n0综上即得证f(x)f(1),0x。(三)求函数极限方法

1、根据定义证明函数以A为极限，即已求得了函数的极限。

2、用函数极限的四则运算法则、不等式性、绝对值性及无穷大量的四则运算等性质，根据已知极限求极。

3、根据公式与不等式求极限。

4、用两边夹定理求极限。

5、用stolz定理的推广定理求极限。

6、用罗比达法则求极限。

7、用罗比达法则与微积分学基本定理、含参量积分求极限，用牛顿——莱布尼兹公式求极限。

8、用函数的连续性求极限。

9、用泰勒公式、导数定义等求极限。

10、用函数的上、下极限求极限。

11、用左极限与右极限求极限。

12、用归结原则求极限。

13、用函数项级数理论，如函数项级数收敛的必要条件或函数项级数的和函数求极限。

14、其它，诸如反证法、变量代换等等。

下面在罗比达法则和泰勒公式的选用上，微积分学基本定理与罗比达法则的运用上，两边夹定理，stolz定理的推广定理的运用上重点举几例。

f(x0h4)f(x0)例3 设f在x0可导，求Ilim。2h01coshf(x0h4)f(x0)h4解 Ilim 42h0h1cosh4h3f(x0)limh0sinh22h

2f(x0)——用导数定义、罗比达法则、已知极限、极限四则运算法则求极限。

例4 求Ilimxaaanx1x2xn,(ai0,i1,2,n)。1x 16 分析 本题为0型未定式，用罗比达法则试解之。不难发现，用罗比达法则两次之后，所得函数表达式已变得更为复杂，因而用罗比达法则解决不了，需改用它法。考虑到a1,,an为有限个正数，因而必有最大值与最小值，于是联想到用与不等式有关的两边夹定理。

解 令kmaxa1,a2,,an，则

k1nnxkxaaan1x1xxlim1xx1x2xnnknk，1xx1x由于limnnxn01。

因而limkn1xxk，1xxa1xan由两边夹定理知：Ilimxnkmaxa1,,an 例5 设f在A,B上连续，AabB。

b证明：Ilimh0abf(xh)f(x)dxf(b)f(a)

hf(xh)f(x)dxf(b)f(a)，只要求出极限值为

h分析 要证limh0af(b)f(a)，即已证得，于是归结到求极限问题。显然积分号下不能取极

bb限；而已知f连续，则显然f(x)dx与f(xh)dx均可由其原函数在两端

aa点a,b处的函数值所给出，于是极限问题不难解决。

解 因为f在a,b上连续，则f在a,b上有原函数F,F(x)f(x)，由牛顿——莱布尼兹公式知：

bIlimh0af(xh)f(x)dx

hb1blimf(xh)dxf(x)dxh0haa1bF(xh)|baF(x)|ah0hlim[F(bh)F(ah)F(b)F(a)]limh0

F(bh)F(b)F(ah)F(a)limh0h0hhF(b)F(a)f(b)f(a)lim——用原函数存在定理、牛顿——莱布尼兹公式、导数定义等求极限。

1例6 求Ilimex1(中国科技大学)xx2x1分析 令f(x)ex1，分析f(x)之结构，xx2易知当x时，ex0,1,f(x)为0型未定式；

1当x时，ex,10,f(x)为0型未定式，按通常方

x110x法，将其化为型或型去解决，于是有f(x)x0ex2x21xx2，其为

型。(当0x11，x时)或型(当x时)分子之导数为12xln10xx1x比1复杂得多，且求导不易，因而此法不可取；另想别法，只得将11按幂指函数法处理如下。xx21xx2 18 f(x)e1x2ln1xx，只求出limx2ln1x即可，易见

x1x0Lx2ln1x为型未定式，需化为型或型，于是可用罗比达

0x法则解之，当然将ln1展成泰勒公式，也可解之。

解法一 由罗比达法则知

11limx2ln1xlimxxln11xxxx1xln11xlimxx1 11ln1x1xlimx(1)x2x1121xx1(1x)2limx22x31x则Ie1limx2ln1xxxe

12——用幂指数函数处理法与罗比达法则求极限。

y21解法二 令y，由泰勒公式知ln(1y)y(y2)，2x则111112ln(1y)0(y)(y0)，22y2y2y1limx2ln1xxx因而Iee

12——用幂指数函数处理法与泰勒公式求极限。例6解题方法小结：

1°某些问题，看似用罗比达法则解之，但较麻烦；用泰勒公式解之，甚是方便。

2°幂指数函数处理法：形如f(x)g(x)的函数称为幂指数函数，其中f(x)0。遇见这类问题，一般是将其恒等变形如下形式来处理：f(x)g(x)eg(x)lnf(x)，这就是幂指数函数处理法。本例的每种解法中，均用到此法。

(四)判断函数极限存在与不存在的方法

1、判断函数极限存在的方法

(1)求出函数极限，即已断定函数极限存在，因而(三)中各法适用。(2)用函数极限柯西准则。(3)用单调有界函数定理。(4)用归结原则的推论。

(5)证明函数的上极限与下极限相等。(6)反证法、变量代换及它法。

2、判定函数极限不存在的方法

(1)由极限定义而来——极限定义的否命题

对任何实数A，limf(x)A；即对任何实数A，存在某一00，对

xx0任何0，xU0(x0,)，使得f(x)A0，则limf(x)不存在。

xx0(2)由柯西准则而来——柯西准则的否命题。

xx0limf(x)不存在存在某一00，对任何0，x,xU0(x0,)，使得f(x)f(x)0。

(3)左、右极限关系定理的否命题

左极限与右极限均存在且不等；或左极限与右极限中至少有一个不 20 存在，则极限不存在。

(4)归结原则的否命题

,xna,xna,xna(n)，xna(n)，存在两个点列xn,xn)；或存在一个点列xn,xna,xna(n)，但但limf(xn)limf(xnnnnlimf(xn)不存在，则limf(x)不存在。

xa(5)上极限与下极限关系的充要定理的否命题。上极限与下极限不等，则极限不存在。

(6)运算：若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)g(x)]不存在。

xx0xx0xx0(7)反证法，变理代换法及其它。

111例8 1)设f于[1,)连续可微，且f(x)2ln(1) xf(x)1x求证：limf(x)存在。(吉林大学)xx0分析

要证limf(x)存在，则f的表达式在题设中没有给出，但题设x中给出了f表达式。

由此表达式，立知f(x)0，则f为递增的，因而联想到单调有界定理去试之，这样只要探究出f的上有界性即可。为此，必须将f与已知的f联系上，由于已知f连续，则由牛顿——莱布尼兹公式知xxf(x)f(t)dtf(1)，于是只要证出f(t)dt有上界即可，这就需要对11f(t)加强不等式。

11x11ln1，1xx1x1x证明

因x1，则 21

111于是f(x)2ln10，f(x)1xx则f在[1,)上单调增加，又因

f(x)111111ln1xxx1xx1xx1x11xx1xx1xx11113x2x2x2f连续，由牛顿——莱布尼兹公式知

xx

f(x)f(1)f(t)dt1112t32dt111 x则f(x)1f(1),x[1,)。

因而f在[1,)上单调且有上界，由单调有界定理知limf(x)存在。

x例9 证明limsin不存在。

x01x解法一 点到xn12n2,xn1,n1,2,3,，且xn0，n)，由归结原是知limsin0(n)，但limf(xn)10limf(xnxnnnx01不存x在。

——用归结原则的否命题证明函数极限不存在。

解法二

分析 用柯西准则的否命题试解之。此时，要证存在某一00，对任何0,x,x,0x,0x，但f(x)f(x“)0。需要找0,x,x由于f(x)sin为三角函数，不妨取特殊的函数值，例如，1xf(x)1,f(x)0则f(x)f(x)111，取0。由于f(x)1,f(x)0，22解得x12n2,x11，则,n1,2,3，为简便起见，取x2nn10xx，令x”，解得n11，则x,x均以找到。，取n0 2211，因而 解法二 0，对任何0，取n0220x12n0211，，及0x2n02n0但f(x)f(x)sin1limsin不存在。x0x111sin10，由柯西准则的否命题知xx2证明函数极限存在或不存在的方法总结：

何种情况下选用何种方法？一般规1证明函数极限存在的方法很多，律是：当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则，有时也用归结原则推论。当函数以具体形式给出时，多用单调有界定理或两边夹定理，有时也用柯西准则及其它方法，特别当函数为具体的分段函数时，用左、右有极限解之。当题设中函数关系是以不等式给出时，则用极限不等式性、两边夹定理、上极限与下极限相等诸法中之一试解之。

2证明函数极限不存在的方法也很多，当函数以抽象形式给出时，多用柯西准则的否命题；当函数以具体形式给出时，多用归结原则的否命题，上极限与下极限不等或者运算法则，固然也用柯西准则；特别当函数为具体的分段函数时，宜用左、右极限试解之。参考文献：

［1］黄玉民，李成章，数学分析。北京：科学出版社，1999。

54—76 ［2］数学分析，华东师范大学。北京：高等教育出版社，1987。

53—88 ［3］高等数学附册学习辅导与习题选解。同济大学应用数学系编，北京：高等教育出版社，2003.1。

10—23 ［4］数学分析习题集题解，吉米多维奇、费定晖编，济南：山东科学技术出版社，1999.9。

27—50 ［5］刘广云，数学分析选讲，哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000。

极限理论 篇3

正文

太极图图形. 自北宋 ( 960—1127) 之后太极图图形因其简单易记已经逐渐通俗到广为人知, 甚至近世达到以符号方式广泛流播域外的程度. 为了节省篇幅, 本文没有必要呈现出其图形. 因为, 知之者脑中已经有之, 而不知者亦易从互联网中按词索骥得到.

本文以下分为四步进行证明. 第一步, 证明一个基础命题, 圆至大仍为圆, 而圆至小则为点. 在此步提出圆点转化公式. 它是其他三步证明的基础. 第二步, 证明变量数学函数重要极限之一, 是圆点转化公式的内向补充. 第三步, 证明变量数学重要函数极限之二, 是圆点转化公式的外向扩展. 第四步, 证明牛顿二项式展开式中蕴含着命题: 无穷大点集的极限为圆是通往非欧几何、级数理论、和拓扑学的基础. 下面逐步陈述之.

第一步. 证明命题: 圆至大仍为圆, 而圆至小则为点. 此命题源自《庄子·天下》‘至大无外, 谓之大一; 至小无内, 谓之小一’. 圆和点都是太极公理系统中的初始概念. 它们鲜明醒目地标识在太极图上. 太极图上有三个圆, 一大两小. 大圆在太极图的最外缘, 是显性的, 而两小则是阴阳鱼的鱼头部分, 是隐性的. 太极图上的点分别是阴阳鱼的两颗眼睛. 太极公理系统中最基本的元素就是圆和点. 而太极图中间分别开阴阳鱼的曲线则是点集的一种形态.

从证明的第一步, 就开始显现出中西数学在起步和基础层次上的分野. 圆在中西数学理论中的公理性地位具有鲜明的反差. 在以欧氏几何为代表的西方数学公理系统中, 是以点线面体为序进行逐步定义展开的逻辑程序. 在这个程序中, 显然缺乏基于视觉产生出的整体性和自明性, 所以圆不在初始公理的位置上. 与此不同的是, 太极图中的圆处于初始公理的位置上. 顺便说一下, 西学中的公理, 在中学传统中的对应概念是天理. 显然, 因为没有抓住圆在初始公理中的地位, 欧氏几何公理系统内部各构件之间具有离散性, 所谓系统二字对于它自身而言就是皇帝的新衣, 而太极公理系统才真正具有系统性, 且是动态性的系统性.

以圆为中介, 圆至大和点之间必有关系. 从圆至大到点的变化规律由太极图中阴阳鱼的动态变化可以揭示出来. 当然, 这个动态变化需要借助于思想者的推理活动来实现和完成.

其变化规律的数学表达式为, 以牛顿二项式为基础加以适当变化而成的等式) . 此表达式称为圆点转化公式. 这个公式可以用求极限的方式来表达, 即

圆点转化公式中左边分式中的分子数值1的所指是圆至大. 这符合《庄子·天下》‘至大无外, 谓之大一’的观点. 但是它也可以置换为任意圆. 这是因为圆的大小和其性质无关. 分母是牛顿二项式. 为了解释清楚牛顿二项式在此处的理论功能, 在这里必须插入一个新概念, 赋义.

赋义概念为论者原创, 是迄今数学中所没有的. 所谓赋义是指, 对于代数式中的字母给予确定的形的含义, 或者所指之形. 它和逻辑学的赋值功能异曲同工. 但是, 不能把赋义和赋值合并. 因为赋义专门指对于代数式中字母含义中有关形的所指. 这和值的概念中蕴含数的性质或者逻辑真值的性质不同. 在本步骤中, 括号中的a和b分别赋义为太极图中的两个包含着次生圆的阴阳鱼. 而在其他情况下, a和b赋义会产生变化, 后文中会出现. 随着太极圆从原单位圆衍生出n次生阴阳鱼的过程不断反复进行, 乃至无穷, 此分式的极限就是所有的无穷大次生阴阳鱼转化为点, 用极限公式表达就是, 其运算过程如下.

将圆点转化公式两边均除以点, 变形为, , 分母中的p是点的英文词汇point的词头p, 使用这种方法是和通行做法接轨, 指代概念点, 然后求, 当n→∞时此式的极限, 于是得1/∞ p= 1, 从这个公式可以分析出, 分母∞p是无穷大点集, 因为此分式的分子和分母的比值等于1. 无穷大点集在太极图解析中是很重要的基本概念, 整理后, 得∞p= 1, 注意! 这里的1是分式的分子, 不要把等式左右两边的1弄混, 虽然数值都为1, 但是, 它们处于等式的不同位置, 所以含义不同. 根据圆点转化公式中的规定分子1就是圆至大, 即∞p = 圆. 到此, 运算证明完毕.

这是从单位圆顺遂太极图中圆中有圆之图义而求极限的过程. 这个过程显示出太极图中的太极圆是动态的, 而不是静态的. 但是不幸的是, 太极图长期以来被静态化了. 其静态化就是一把大锁, 锁住了横亘在太极图表象和深湛数理蕴含之间的大铁门. 太极理论不被世界数学界重视, 即使据说丹麦量子物理学家尼尔斯·玻尔对于《易经》有所感悟1, 就是源于静态化地看待太极图. 牛顿二项式就是打开这把大锁的钥匙, 可以点石成金. 对此, 世人更是难以认识到.

这里对于点的概念有三个解释. 其一, 公式中的点符合欧氏几何对于点的定义, 点只有位置而无大小. 做为圆至小无内的极限, 只留下了个位置在圆中. 位置这个概念具有时空的蕴含. 其二, 如刚才上面所说, 必须把太极图视为动态的, 才具有从圆到点转化的基础. 其三, 只有存在着圆至大和圆至小两个概念, 点作为极限才能够存在. 这是践行语言哲学中的基本原理, 只有体系性地定义概念, 概念的定义才会有效.

牛顿二项式, 通过赋义的中介, 它在太极图演化中的描述和解释具有形式化中枢的功能. 它体现了结构功能理论的精髓. 它也是辩证规律, ‘太极分两仪’的数字化的体现. 这一点揭示出辩证规律隐匿在数学之中的端倪. 这也是对于中国缀文形式中对仗和骈文现象丰富和突出的最终解释.

牛顿二项式的问世并非牛顿一人之功. 其中有中国人, 阿拉伯人, 和其他欧洲同仁的功劳. 而最早作出在这项贡献的中国人贾宪 ( 生卒年不详, 大约生活于十一世纪的北宋) 和杨辉 ( 生卒年亦不详, 大约生活于十三世纪) 已经被载入数学史中. 此处特别提到这他们并不是为了争夺二项式的发明权. 这样做没有任何意义. 提到他们是因为论者有一个猜测: 他们的三角理论如果有所本, 或者受到什么启迪, 和有什么深厚思想传承, 那么就非太极理论和太极图莫属.

以上所求极限可称为从圆至点的极限. 这个极限可以把微积分学中的现有的两个常识性重要函数极限整合统一起来. 统一的线索是, 在从圆至点的极限过程中, 直径和圆周扮演着重要的角色. 而在现今的数学分析中, 它们的角色远没有这么重要.

第二步, 先证明推 导过程简 单些的重 要极限一, x. 这个极限可以说是圆点转化公式的内向补充. 在以下的陈述中必须提到上文中已经提到的形和数两个初始概念. 在圆点转化公式中, 数学公式起着台前作用, 而形隐匿在台后, 通过赋义后才为人所知. 两者处于分立状态. 在目前这个极限中, sinx使形走到台前来, 直接显示出太极图中所蕴含的形数互释原理. sinx的构成要素就有直径和圆周. 只不过, 这种现象为人熟视无睹而已.

依据一般教科书中的讲义, 这个分式中的分子sinx在三角函数中其对边变量值由y轴的数值显示, 即sinx = y. 进行等式变换, 则可得1. 这个等式实际上已经预示着这个结果. 但是由于分母x被定义为和sinx的圆周角相对的圆周长度, 而并非对边变量本身, 因此就存在着证明的必要. 根据这个解释, 可以把问题在本质不变而现象改变的情况下变成正弦曲线中的极值和π/2长的圆周之间的比值. 这样就可以提供另外一条证明的思路. 它是这样的.

在圆中从无穷条直径中取任一直径, 围绕直径有条以2π为周期的正弦曲线. 这条正弦曲线上存在着两个极值, 均在π/2处, 现在只观察其中一个足够. 这意味着只观察半径和半个曲线之间的联动变化关系. 令正弦曲线极值逐渐变小, 趋向于零, 伴随现象是原初仅有2π周期的正弦曲线变为2nπ ( n→∞ ) 周期的正弦曲线, 这意味着所有数量以几何级数递增的正弦曲线的所有极值同时不断缩短和直径间的距离, 在到达极限时, 曲线不成其为曲线, 成为和直径一样长短的线段. 这个结果用极限公式表达就是:1, 这里的1是正弦曲线在到达极限时与直径的比值. 对于这个结论还要做进一步的解释. 否则因为其中有了置换, 因而产生出是否增加了变元的疑问. 如果是, 就使刚才的证明归于无效.

在这个证明中, π/2长的圆周实际上处于以曲线为形式的圆周上, 因此没有实质性的改变, 仍然是分母x. 被置换了的是分子sinx. 置换过程推导如下. sinx = y. 正弦曲线的极值是y值在π/2弧度角时的特殊值. 这里的置换没有增加变元的问题. 问题是, 在直径处是否增加了变元? 首先直接给出答案. 直径是从极值趋向无穷小时的极限现象. 如果说在直径处有变元, 那么也是极值变化的结果, 和圆至大可以转化为点同理, 这是内生性变元, 而非外生性变元. 理解内生变元的正当性需要上面圆点转化公式的内涵来解释.

上面指出圆点转化公式的背景是阴阳鱼几何倍数的递增. 如果仔细观察, 这个递增过程是在直径上发生的. 这是因为, 最初的两只阴阳鱼的鱼眼处在一条直径之上, 所以所有递增的阴阳鱼都处在同一直径上. 阴阳鱼随着数量增多而个头梯次缩小. 圆中并非只有一条直径, 而是有无穷条直径, 所以圆点转化共时性地发生在每条直径上. 只不过, 我们的研究专注在一条直径上, 且为任意一条直径而已. 以上过程实际上就是正弦曲线围绕直径所发生的事件.

回到相关极限的话题. 从极值缩短而产生的直径不是由一个点产生的, 而是由无穷个点共同构成的. 因为上面提到正弦曲线随着极值的缩小变为2nπ ( n→∞ ) 周期的长度.也就是说所有极值不但和直径缩小距离而且它们之间的距离也在不断缩小. 当极值到达其极限, 极值就变为点, 而且所有由极值化成的点因为相距密切而连成一线, 即产生了和圆至大直径相重合的新直径. 或者更准确地说, 极值的极限就坐落在直径上. 当然, 这里必须分辨开由正弦曲线转化而来的直径和圆本原的直径, 它们不是同一的, 是因为重合关系而难以在视觉中分开. 内生变元只有曲线极值数量的增加, 而无外生变元那样质的变化. 所以运算中的内生变元具有正当性. 概而言之, 上面的命题说:1, 这里的1是正弦曲线在极限时与直径的比值’现在可以判断为没有疑问的结论.

以上对于极限的证明方法和教科书上的相比有两个优点. 其一, 具有整体直观性, 而非部分, 不必利用其他的定理和规则进行抽象推理. 其二, 和其他两个圆到点的极限形成内在的统一, 使人有圆点转化机制的大局观和整体观.

这样完成了第二步的证明.

第三步, 再看证明推导过程复杂些的极限二, 根据它, 还有四个重要的推论随后衍生. 这个极限可以说是圆点转化公式的外向性扩展, 并且体用兼备. e从形来解释, 它处于直径的延长线上. 这是因为括号中两个数字1分别指代同一条直径上的两个半径, 各自绝对值当然是1, 其和应是2.

赋义的问题在这里的解释中又产生了. 众所周知, 代数式是牛顿二项式的变形. 其中字母a和b为什么可以变形为数值, 并且都是1, 必须给予交代. 否则欠缺推理严密. 不能仅以同构作为借口. 本文对于a和b的赋义是, 它们都是半径, 不是第一个步骤中的阴阳鱼.

赋义后的情况应该这样解释, 后一个半径被n分解, 其不定值在和前个半径1相加之后, 它们的和被n次方. 虽然, n值无法确定, 但是两个n在代数式中的不同位置上, 起到相互制约作用, 因此在不用确定n值和只要在n趋向无穷大的约束条件下, 相互制约的结果竟然是其值等于无理数2. 71828…数学界名之为超越数, 即一种无理数, 以符号e指代. 它是自然对数的底. 到此我们的思考不能算完. 需要乘势向前.

显然根据赋义, e值大于直径数2. 如果以取整数方式用大于e值的数值, 比如说3, 为直径再做一个圆, 那么e就被排列在圆内的直径上了. 根据这一点, 上面才说这个极限是圆点转化公式外向性扩展. 在这个扩展中, 圆点转化公式中的圆至大必须置换为一般圆. 因为一般圆允许圆外有圆或者圆内有圆, 而非至大无外和至小无内. 这一切都未脱离太极图图像的蕴含.

从对于e的扩展性解释, 可以产生两个重要推论. 其一, π是超越数的命题可以得到解释. 其中道理很简单, 以e长为直径做圆, 那么, 因为e为超越数, 所以圆周和直径比值依据运算规则必定是超越数. 其二, 圆心位置测不准定律. 其理也简单. 依几何常识, 圆心当在直径之中央, 那么以e长为直径做圆, 显然无法测准其直径e, 即圆心的所在. 这如同无法准确找到磁极两端的中央所在同理. 保证这两个推理成立的重要根据是e的导数衡为e, 即e的不变性和恒定性. 这里需要注意, 测不准不等于画不出. 解释如下.

测出是用数字表达出的测量结果. 画出是以直尺和圆规画出准确的位置. 任意画条水平直线段, 以直线段两端为圆心与小于直线段总长和大于直线段半长的线段为半径各画一个等圆, 两圆必定相交, 产生上下两点, 两交点的连线和直线段垂直相交之处即是以直线段为直径做圆的准确圆心.

从以上两个推论还可以得到第三个推论. 那就是π和e同时刻画了圆所具有的无理数性质, 它们之间具有内在的统一性. 至于统一性是什么, 只能在以后的系列论文中再予交代了.

第四个推论是圆心测不准定律和量子力学中的测不准定理具有形而上和形而下相互参照和印证的功能. 数学和力学之间的紧密关系超过了现在对于其程度的认识.

第四步. 在上面三步的证明中, 证明的核心是圆和点的动态关系. 而在第四步中, 核心则是围绕圆形和非圆形之间的动态关系展开.

虽然证明步骤中的核心有所改变, 但是牛顿二项式的形式化解析中枢功能依旧.

在第一步中, 在圆点转 化公式的 推理中得 到等式, ∞p = 1, 即无穷大点集的极限是圆. 这个等式从习惯来看有些奇怪. 这恰恰说明在习惯中漠视了形数之间互根的紧密关系. 只重视了数, 而漠视了形. 在本步骤中对于牛顿二项式展开式的分析就能够进一步揭示形数互根的原理.

来看牛顿 二项式展 开式标准 式, . 标准式的左边是牛顿二项式, 右边是二项式展开式. 式中所有系数的组合形成帕斯卡三角. 从太极公理系统的视角看, 这个等式的蕴含就是圆形和内接三角形相等.这个判断太奇怪了! 有无这种可能? 有. 首先是有据可查.等号是明证. 其中的奥秘需要揭示. 那么, 就请看下面的解密.

圆形等于三角形这个判断需要加以精确化. 需要在两个地方精确化. 其一, 只有在式中的n趋向无穷大时的约束条件下, 其二, 圆的周长和圆内接三角形的三边和等长, 而并非模糊地相等. 其证明推理过程如下.

把牛顿二项式展开式标准式, 变换为, , 取 ( n→∞ ) 时的极限, 这是∞/∞型不定式. 可以看出, 它是圆点转化公式进一步的扩展. 现在需要对于牛顿二项式进行第三次赋义. 在做为分子的牛顿二项式括号中的a和b是直径两端与圆周相交的两个偶序点;分母中的a和b赋义同于分子的. 每点数值为1. 进行化简, 得到分式. 在n→∞的条件下, 分子和分母都是无穷大, 根据∞/∞不定式运算规则, 就有

代数方面的证明完毕. 下面需要证明其形释.

从形的方面来理解牛顿二项式展开式, 就是它以数的方式来证明欧氏几何中三点定一圆的公理. 证明过程中, 首先需要无穷大点集的存在, 其次把圆周和圆内接三角形都看作点集, 最后求这两个点集在趋向无穷大时, 它们所形成的比值极限. 从上面的分子和分母可以分别看到, 分子根据对于 ( a + b) 的赋义都是点, 注意, 点是形的种类之一, 而非是数, 然后再赋值, 都是1, 而2n在n→∞时就是无穷大点集. 而分母也是无穷大点集. 两个无穷大点集的比值自然是1. 要解释清楚为何内接三角形的无穷大点集可以与圆周相等需要非欧几何基础观点和集合论中无穷比较的知识.

先说非欧几何基础观点的解释作用. 在非欧坐标系中, 三角形的内角和不是1800, 可以大于或者小于, 这样三角形的三个角可以同时是钝角, 或者锐角. 如果圆内接三角形的三个角同时是钝角, 那么其极限就是圆周, 如果同时是锐角其极限就是圆心. 这是因为在角度变大, 或者变小时, 边长也在随之同向变化, 变化的两个相反结果必然其极限是圆周和圆心. 从非欧几何的观念, 牛顿二项式展开式等式的两边在无穷大的变化条件下它们之间的极限是1, 这个命题可以算作功德圆满证明完毕. 但是这个命题还可以进一步伸说.

再说集合论中无穷比较的解释作用. 其实即使不使用非欧几何工具, 圆内接三角形和圆周之间也可以通过集合论中无穷比较方法得到同势的结论. 因为不论圆周还是内接三角形三边之和都是无穷大点集. 做为无穷大点集, 它们之间就具有同势的性质. 两个同势的点集自然其比值等于1.

还可以进一步扩大圆内其他构件同势的范围. 除了刚才已经提到的两个之外, 即圆周和内接三角形三边之和, 在同势的名单中, 还可以加入直径无穷大点集和阴阳鱼无穷大集. 这样圆就有四个同势的无穷大点集.

对于牛顿二项式展开式的形释可以对于级数理论的完善有所帮助. 牛顿二项式展开式其实就是级数的基础理论.对比一下, 牛顿二项式展开式的系数求和极限式中的和常数项级数的通项式, 两者十分近似, 只要对于其中的字母和数值加以改动, 那么两者完全可以被统一进一个体系中. 但是仅凭上面两个式子中数的相似性就断定它们可以被统一进一个体系中未免没有什么说服力. 确实如此. 不过, 如果从形释的视角来理解, 那么说服力就很强了.这是因为级数理论的形的基础也是割圆术. 而割圆术的起始点应该是点和点集, 是点集形成直径, 其次是直径一分为二, 形成正负两个半径. 这两步都是准备阶段. 真正的级数起点是圆内接三角形, 它把圆周一分为三. 然后, 依次分割圆周的次序是递增自然数串中的每一项. 在分割中形成规则性多边形. 从多边形角度而言, 三角形是其直接基础, 任意多边形都可以还原为n个三角形的和数. 从这一点看, 牛顿二项式展开式完全可以把级数理论统一起来.

另外, 它同样可以通向拓扑学. 这里只能点到为止, 不再详论.

戊. 结论和知识论方面的意义:

结论有两点.

其一, 通过以上对于极限理论在太极公理系统中位置的形式化推理性分析的陈述, 可以得出结论: 极限理论处于太极公理系统中的基础分析位置上并且贯穿整个太极公理系统.

其二, 太极公理系统确实是圆融通透的数学分析公理系统. 它具备统一极限理论的能力, 因此符合公理系统的完备性, 而非欧氏几何系统不具备. 从这个结论可以判断出, 太极公理系统比欧氏几何公理系统更基础, 同时具有至简的优良品质.

最后, 提示一点, 从太极公理系统还可以直接分析出其他基础分支理论, 例如坐标系理论. 其实, 只要稍加留意, 就会发现三角函数的图像中存在着圆包裹着笛氏坐标系的现象. 对于太极公理系统的分析潜力的全面认识需要系列论文或者专著一一揭示出来.

知识论方面的意义: 上个世纪在西学东渐的大潮中, 中国原型知识体系在世界知识领域中的话语权处于风雨飘摇的下滑惨境. 太极理论和太极图中的深刻数理蕴含在本论文中的揭示, 则将彻底改变中学在近世界一体化进程中的软实力方面的历史颓势. 整个文明史证明和证实, 数学是所有门类知识的基础. 套用和翻新弗兰西斯·培根的名言, 我们可以这样断言, 数学知识就是最伟大的力量. 当今的中国知识界应该全身心拥抱被自己百年前弃之如敝屣的自家珍贵数理资源, 太极和八卦. 八卦已经在两百余年前被莱布尼兹发掘出其知识价值, 那么太极呢? 站在高端和深邃的八卦太极数理平台上, 中国和世界就会迎来更美好的明天.

参考文献

极限理论 篇4

第二节数列的极限

一、单项选择题

1.数列极限limynA的几何意义是n

A．在点A的某一邻域内部含有{yn}中的无穷多个点

B.在点A的某一邻域外部含有{yn}中的无穷多个点

C.在点A的任何一个邻域外部含有{yn}中的无穷多个点

D.在点A的任何一个邻域外部至多含有{yn}中的有限多个点

2.limynA的等价定义是n

A.对于任意0及K0，总存在正整数N，使得当nN时，ynAK

B.对于某个充分小的0，总存在正整数N，使得当nN时，ynA

C.对于任意正整数N，总存在0，使得当nN时，ynA

D.对于某个正整数N，总存在0，使得当nN时，ynA

3.“对任意给定的(0,1)，总存在正整数N，当nN时，恒有xna”是数列xn收敛于a的C条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 ﹡

二、利用数列极限的定义证明:lim

证明： 对0，要使1cosn0.nn21cosn1cosn20，只需n.nnn

1cosn1cosn20,取N，0.则当nN时，就有所以lim0成立，nnn

3高等数学(1)标准化作业题参考答案—2班级姓名学号

第三节函数的极限

一、单项选择题

1.极限limf(x)A定义中与的关系为xx0

A.先给定，后唯一确定B.先给定后确定,但的值不唯一

C.先确定，后确定D.与无关

2.若函数f(x)在某点x0极限存在，则A.f(x)在点x0的函数值必存在且等于该点极限值

B.f(x)在点x0的函数值必存在,但不一定等于该点极限值

C.f(x)在点x0的函数值可以不存在D.若f(x)在点x0的函数值存在，必等于该点极限值

3.以下结论正确的是C.A.若limf(x)A0，则f(x)0 xx0

B.若limf(x)A0，则必存在0，使当xx0时，有f(x)0 xx0

C.若limf(x)A0，则必存在0，使当0xx0时，有f(x)xx0A

2D.若在x0的某邻域内f(x)g(x)，则limf(x)limg(x)xx0xx0

4.极限limx0xx

A.1B.1C.0D.不存在x2x65.﹡

二、利用函数极限的定义证明:limx3x3

x2x6证明： 0，要使5x3，只需取，则当0x3时，x3

浅基础地基极限承载力理论研究 篇5

1 普朗德尔理论的假设及引发的问题

1920年L.普朗德尔根据塑性理论，研究了刚性冲模压入模压入无质量的半无线体刚塑性介质时，导出了介质达到破坏时的滑动面形状和极限压应力公式，人们把它的解应用到地基极限承载力的计算。

普朗德尔所假设的滑裂面如图2所示，在此中，普朗德尔所做出的最主要的假设有：第一，土体是无质量的，即γ=0;第二，基底是光滑的，因此在Ⅰ区的大主应力σ1是垂直向的，破裂面与水平面成450+ф/2角，称为主动朗肯区，在Ⅲ区，大主应力是水平的，其破裂面与水平面成450-ф/2，称为被动朗肯区，在Ⅱ区中的滑动线一组是对数螺线，另一组是辐射线;第三，假设所受的条形荷载是无限长的;第四，假设基础无埋深。

对于以上情况，普朗德尔得出极限承载力的理论解为：

式中Nc称为承载力系数，是仅与Ф有关的无量纲系数，c为土的粘聚力。如果考虑到基础有埋置深度d，将基底水平面以上的土重用均布超载超载q(=γd)代替，赖斯纳(Reissner, 1924)由此得出极限承载力还须加一项qNq，即Pu=cNc+qNq2) Nc、Nq都是仅与Ф有关的承载力系数。

实际上，土是不可能没有质量的，若考虑土体重时，假定滑动面同普朗德尔所提出的一样，那么滑动面以内滑动土体的重力，将使滑动面上土的抗剪强度增加。由于基础底面是粗糙的，具有很大的摩擦力，那么基础底面不会发生剪切位移，也不再是大主应力面，Ⅰ区内有部分靠近基础底面的土体就不是处于主动朗肯区，而是处于弹性压密状态，它与基础底面一起移动。另外，普朗德尔理论所讨论的是无线长的条形荷载作用下的地基极限承载力，其在应用到有限长的地基形式，如矩形、方形、圆形基础上时就会受到相应的限制。再有，普朗德尔理论对于有埋置深度d的基础的处理是把基础水平面以上的土体重量简单的以均布荷载q(=γd)来代替，在这里，其忽略了埋置深度层的滑裂面(如图3虚线所示)的抗剪作用。如果基础埋置较深，普朗德尔理论计算出来的天然地基极限承载力必然比实际偏小。

出于对普朗德尔理论中的这些缺陷，其后的一些理论，如太沙基承载力理论和魏锡克承载力公式，都在其某些方面做出了相应的完善。

2 太沙基、魏锡克承载力理论的改进

太沙基在普朗德尔理论的基础上，考虑了基底面是粗糙的以及图示有质量的事实，对普朗德尔理论加以改进，认为浅基础的地基极限承载力可以近似地假设为分别由以下三种情况计算结果的总和：1)土是无质量的，有粘聚力和内摩擦角，没有超载，即γ=0, c≠0，φ≠0, q=0;2)土是没质量的，无粘聚力有内摩擦角，有超载，即γ=0, c=0，φ≠0, q≠0;3)土是有质量的，无粘聚力但有内摩擦角，没有超载，即γ≠0, c=0，φ≠0, q=0;由此得到的太沙基极限承载力的表达式为：

式中c———土的粘聚力，k Pa;γ———土的重度，k N/m3;q———基底水平面以上基础两侧的超载，q=γd, k Pa;b、d———基底的宽度和埋置深度，m。Nc、Nq、Nγ———无量纲的承载力系数，仅与土的内摩擦角有关。

对于非无限长的条形荷载的基础形式，太沙基根据一些试验资料，提出了一些建议公式，请参照参考文献，在这里不再详述。

魏锡克在普朗德尔的基础上，考虑的因素较多。首先，在考虑土的自重的前提下，得到条形基础在中心荷载作用下的极限承载力公式，形式同(3)式，只是承载力系数Nγ差别较大，与实际结果比较，魏锡克公式中此系数的取值方法是偏于安全的。然后，魏锡克根据影响承载力的各种因素对其公式进行修正，例如，基础底面的形状、偏心和倾斜荷载、基础两侧覆盖层的抗剪强度、基底与地面倾斜、土的压缩性影响等。对于各种因素考虑结果详见参考文献，在这里只列出其在考虑了基础形状影响、偏心和倾斜荷载影响、基础两侧覆盖层抗剪强度影响的结果，表达式如下：Pu=cNcScicdc+qNqSqiqdq+21γb NγSγiγdγ

式中Sc、Sq、Sγ———基础形状系数;ic、iq、iγ———荷载倾斜系数;dc、dq、dγ———基础埋深修正系数。

以上讨论的都是以整体剪切破坏为计算模型的，适用于坚硬粘土和密实砂发生整体剪切破坏的情况。如系发生局部剪切破坏的松砂和密实砂的情况，应另外考虑。

3 结论

每一理论都有其前提和假设，应用时，应熟知理论的来源及每一项代表的涵义，根据实际情况，考虑是否与理论的前提相违背、理论应用的可能性及理论各项参数的取值，还应有理论的应用与实际偏离的概念。

参考文献

[1]地基及基础[M].中国建筑工业出版社, 1991.

极限理论 篇6

关键词：木桶原理,中微量元素,微生物菌肥,增产极限

1 作物生长的木桶理论

玉米的生长需要16种营养元素, 其中碳、氢、氧从空气和水中获得, 氮、磷、钾和10种中微量元素主要从土壤中吸收。目前, 氮、磷、钾多通过施肥来补充, 钙、镁、硫等10种微量元素主要靠土壤自然供给, 年复一年, 土壤逐渐出现中微量元素匮乏现象[1]。木桶理论, 即最小养分定律用木桶形象将玉米所需的16种营养元素比作16块木板并拼成一个水桶, 这个水桶里所盛的水量就是玉米的产量。因此, 限制作物产量的因素, 就是那块最短的木板, 也就是土壤里最缺少的那种元素, 例如缺锌、缺钾、缺钙等, 缺乏最严重的因素便是限制作物产量最重要的因素。每块板代表着作物所必需的一种营养成分, 要想让木桶盛更多的水, 起决定作用的不是最长的那块木板, 而是最短的那块木板, 只有把最短的那块木板给堵住了, 木桶盛的水才更多。同样, 要想保证作物的产量, 在大量元素供应充足的情况下, 也一定要保证中微量元素的供应。元素都补足了, 玉米产量才能提高。

2 化肥施用的变化历程及对土壤的影响分析

我国自20世纪60—70年代开始使用化肥, 氨水是最先开始使用的氮肥, 然后是尿素。人们发现尿素的增产效果十分显著, 因为氮元素是当时土壤中最缺乏养分, 所以氮元素决定着玉米的产量。因此, 土壤施用氮肥可显著增产。但当人们大量使用尿素一段时间后, 发现随着尿素的用量增加玉米产量不再提高, 因为这时土壤缺磷, 磷元素已经是决定产量最短的那块木板, 要想提高产量必须向土壤中投入磷元素, 于是人们开始使用磷酸二铵。磷酸二铵的使用使农作物产量发生了二次飞跃, 农民高兴地说, 不靠地, 不靠天, 全靠老二铵。人们对化肥的使用有了更深的认识, 不再消极地使用, 也不再把化肥埋在地头壕沟。随着磷酸二铵和尿素的使用, 农作物的产量逐年递增, 但是当产量增加到一定程度, 不论化肥的施用量为多大, 玉米的产量也不再增加, 科学家对土壤进行测定, 发现土壤缺钾。此时钾成为最缺乏的养分, 要想提高产量只能向土壤中施入钾肥, 最短的木板提高了, 作物产量也就增加了。氮、磷、钾的配合施用使得玉米的产量达到第三次飞跃, 产量提高, 玉米质量好, 各种优良性状充分展现出来, 使得人们更加依赖化肥, 甚至不惜花费巨资施肥来追求产量的提高。然而产量提高到一定程度后, 即使施用再多的化肥产量也不再提高, 化肥投入越来越多, 却无法有效提高产量, 成为了无效投入, 这是因为最缺乏养分已经发生新的变化, 中微量元素逐渐成为新的最缺乏养分, 因为随着产量的提高, 人类向土壤中索取的物质也越来越多, 每年可从土地中收获玉米10 t/hm2以上, 玉米秸秆15 t/hm2, 而人们向土地投入的氮、磷、钾复合肥只有1 000 kg/hm2, 年复一年地耕种, 从土壤中不断索取, 使土壤中的有机质越来越少。加上人们对化肥的过度依赖, 靠化肥要产量的思想已经根深蒂固, 还有些是承包的土地, 使用者毫无养地观念, 也不再投入农家肥。这样长此以往, 土壤的结构发生改变, 越来越板结, 20 cm以下出现犁底层, 如水泥一般坚硬, 导致深层的养分和水分不能被玉米吸收。

3 打破作物增产极限的有效措施

化肥的大量使用, 也给中国农业带来了很多负面影响, 土壤碱化板结严重, 小麦到了灌浆期便开始死亡;玉米未成熟便开始早衰、耷了棒;西瓜、香瓜和蔬菜红根、枯萎、死秧;水稻烂根、倒伏;花生、棉花枯死;生姜、大蒜黄叶、死苗等重茬病害也日益严重。由于化肥的不合理施用, 作物相继出现早衰、枯黄、死苗的现象, 很多良田变成不毛之地。发展精准农业, 平衡配方施肥迫在眉睫。当前土壤中主要缺少10种中微量元素, 这些中微量元素是决定玉米产量的那块最短木板, 即决定产量的最缺乏的养分[2], 只有合理补充这些中微量元素, 土壤养分才会均衡, 作物才能增产。中微量元素因其量微而未受重视, 且很少补充, 目前它已经成为农业增产的限制因素, 补充这10种中微量元素, 同时适当施用微生物菌肥, 才能突破氮、磷、钾的增产极限, 可使玉米等作物增产17%~40%, 给农民丰收带来希望。微生物菌肥含有大量有益菌, 按有益菌的作用可分为:提高肥效类, 如固氮菌、解磷菌、解钾菌;抑制土传病害类, 如抗生菌;活化土壤类, 如酵母菌[3]。微生物菌肥的作用:一是能够提高化肥利用率, 从而减少化肥用量, 科学使用微生物菌剂能够分解和活化土壤, 使原来没有分化的化肥颗粒重新分解, 被作物吸收利用, 提高肥效的利用率, 活性菌的代谢繁殖。消酸除盐, 将土壤酸碱度p H值平衡在5.5~7.5, 提高化肥吸收率70%以上, 使化肥达到最佳可吸收状态。二是能够提高作物品级, 解决营养障碍。补充10种中微量元素, 平衡作物生长, 解决秃尖、瘪粒、早衰, 使作物果甜瓜香, 提高经济效益。三是能够抗重茬, 减轻病害。长期施用微生物菌肥, 能够改善土壤微生物菌群, 抑制土壤病原菌繁殖, 可有效预防作物的根腐、立枯等病害。同时能维持根际微生物区系平衡, 减轻土壤板结, 喧化耕层, 提高保水保肥能力, 提高作物抗旱、抗寒、抗倒伏、抗重茬能力, 并且能够防死棵, 促进果实膨大、增糖着色, 提高作物品质[4]。降低土壤重金属和盐碱毒害, 解决农作物的生长障碍, 突破氮、磷、钾的增产极限。

4 结语

综上所述, 只有合理补充土壤的中微量元素, 配合施用微生物菌肥才能打破氮、磷、钾的增产极限, 促进农作物优质高产。

参考文献

[1]冯文清, 王旭, 哈雪娇, 等.中微量元素对大兴区西瓜产量和品质的影响[J].现代农业科技, 2010 (1) :119-120.

[2]孟利芬, 陈清, 陈小燕, 等.集约化蔬菜生产的中微量元素施用原则与方法[J].中国蔬菜, 2010 (16) :15-20.

[3]王涛, 辛世杰, 乔卫花, 等.几种微生物菌肥对连作黄瓜生长及封土壤理化性状的影响[J].中国蔬菜, 2011 (18) :52-57.

极限理论 篇7

突变理论自产生以来, 经过不断地探索和完善已经具有相当深厚的哲学和数学基础[1,3]。随着科技和社会的飞速发展, 人们对自然界及其本身的探索会越来越深入, 碰到的问题也会越来越多, 由于大量不连续现象的存在, 突变理论将越来越受到人们的重视。突变理论在土木工程领域有了广泛的应用[4,6]。国内学者康仲远分析了板状岩体在水平力和垂直力共同作用下欧拉失稳问题, 解释了某些地震现象;张业民首次建立了孔压液化的尖点突变模型;殷有泉、郑顾团将突变理论应用于地震研究, 建立断层地震的尖点突变模型;唐春安、徐小荷对岩石在加载系统作用下破裂过程的非稳定性问题进行了研究, 得到了突变前后岩样的变形突跳量和能量释放量的表达式[7,8]。

本文在某工程边坡的稳定性计算中, 考虑边坡的突变破坏特性, 分别对比了边坡的自然状态和饱水状态, 得出通过改进的极限平衡法更能准确反映边坡状态。

1 工程概况

1号边坡全长约535 m, 位于嘉陵江左岸谷坡中下部。谷坡高陡, 谷坡坡度一般为40°~50°, 最大坡高在200 m以上, 断面图如图1所示。

在构造上, 1号边坡处于新店子向斜南翼, F1断层以北。主要由三叠系飞仙关组下部的薄板状灰岩组成, 岩层总体产状NE55°~65°/NW∠40°~60°。受多期构造运动影响, 岩层层面波状起伏, 局部地段褶曲十分强烈, 产状变化非常大。边坡附近未见地下水出露, 据钻孔资料推断, 地下水位埋深应大于20 m。

边坡灰岩抗震风化能力较强, 因而该段边坡岩体风化程度较低, 无强风化岩体。但卸荷作用较强, 其强卸荷深度坡顶2 m~3 m, 坡脚1 m~2 m, 平面图如图2所示。

2 基于改进的极限平衡法计算

计算采用改进的传递系数法, 有关参数根据现场大剪试验确定如表1所示。计算中分别考虑边坡天然状态和饱和状态两种工况, 其滑坡主剖面稳定性计算简图如图3所示, 稳定性计算结果如表2所示。

3结语

1) 根据传递系数法计算得该滑面的稳定系数为1.294>1.15, 因此该滑面稳定;2) 根据突变模型计算结果, 该滑面不满足突滑的必要条件, 因此该滑面基本稳定, 符合边坡实际情况。

摘要：结合某工程边坡, 通过考虑边坡在破坏时突然失稳的变化特征, 结合突变理论, 分析了该边坡在天然状态和保水状态下的各自稳定性, 通过对比发现, 在考虑滑坡的突变特征的前提下, 对滑坡的稳定性计算更加真实可靠。

关键词：传递系数法,突变理论,稳定性,对比分析

参考文献

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[2]刘春茂, 董捷, 边成鑫.悬臂式抗滑桩设计参数对其工作性能的影响分析[J].重庆建筑大学学报, 2008, 30 (2) :66-70.

[3]董捷, 张永兴, 吴曙光, 等.切方边坡悬臂桩桩间土稳定性研究[J].岩土力学, 2009, 30 (12) :3881-3888.

[4]董捷.嵌岩抗滑桩的受力分析及其在滑坡治理中的应用[D].贵阳:贵州大学硕士学位论文, 2006.

[5]李海光.新型支挡结构设计与工程实例[M].北京:人民交通出版社, 2004.

[6]钱家欢, 殷宗泽.土工原理与计算[M].第2版.北京:中国水利水电出版社, 1996.

[7]孔亮, 王燕昌, 郑颖人.土体动本构模型研究评述[J].宁夏大学学报 (自然科学版) , 2002, 22 (1) :17-22.

极限理论 篇8

软弱围岩条件下,巷道的开掘破坏了地层原岩应力平衡状态,导致巷道周边岩体应力重新分布。围岩局部区域应力超过煤岩体强度,使得围岩物性状态发生改变,在巷道周围产生一定范围的极限平衡区,同时引起应力向围岩深部转移[1]。巷道支护或加固所要考虑的对象就是巷道周围已处于极限平衡状态下的煤岩体。利用极限平衡理论设计锚杆支护参数,可有效满足巷道支护对锚杆强度的要求,提高巷道围岩整体的稳定性。

1 极限平衡理论修正应用

当巷道受到采动影响时,巷道周边位移将继续快速增加,利用采动影响系数K1来反映随着与距采面的距离的减小而逐渐增大的变形量。通过相关统计资料分析,采动影响系数K1取值范围为1～3,一般取1.5。

由于实验室岩块与实际煤岩体的差异,巷道极限平衡区和巷道周边位移计算所涉及到的岩体力学参数需要进行合适的修正。为此,引入煤岩体物理力学参数修正系数K2对黏结力和弹性模量进行修正。通过已有相关统计资料分析,K2的取值范围为1/10～1/3,一般应用取1/5。

2 极限平衡区深入围岩的深度

2.1 巷道理论半径的确定

非圆形巷道周围应力重新分布的理论解析解受限于岩石力学和矿山压力的发展水平,为此采用非圆形巷道的圆形标准化法来确定巷道断面尺寸和形状的影响问题[2]。非圆形巷道圆形标准化分三步进行计算:

a)当量半径

式(1)中:rs为巷道当量半径,m;S为实际巷道的断面积;kx为巷道断面修正系数;

b)外接圆半径

用几何作图法作巷道的外接圆,如图1所示;

c)巷道理论半径

巷道理论半径为当量半径和外接圆半径的较小者:

2.2 极限平衡区深入围岩的深度Δ的确定

巷道周边极限平衡区半径R'如式(3):

式(3)中:γ为上覆岩层体积力;H为巷道埋深;Pi为支护阻力;a为巷道理论半径;C为黏结力;φ为内摩擦角;K2为煤岩体力学参数修正系数,取1/7.5。极限平衡区深入巷道围岩的深度Δ为:

3 锚杆支护参数设计

根据极限平衡理论,对巷道围岩进行锚杆支护时,先按巷道不受采动影响初步设计锚杆参数,然后依据巷道受采动影响的极限平衡区范围最终确定锚杆支护参数[3]。

a)锚杆长度

锚杆长度通常按下式计算:

式(5)中:L1'为锚杆长度,m;L1为锚杆锚固段长度,m;Δ为极限平衡区深入围岩的深度;L3为锚杆外露长度,一般取0.15 m。

实际选用的锚固段长度应为L1'和L1''之中的尺寸较大者,并考虑一定的搅拌不均匀系数Kj(此处取1.2),即[4]

b)锚杆直径D的确定

根据每根锚杆所维护的面积S及荷载集度,可以计算出每根锚杆所承担的载荷,从而可以确定出需要的锚杆直径,计算公式如式(10)所示:

式(7)中:D为锚杆直径,mm;[σ]为杆体材料的许用强度;S为锚杆的维护面积;

c)锚杆间排距的确定

锚杆间排距由每根锚杆悬吊的岩石重量确定,通常锚杆按等距排列,即间距、排距相等,设为a,则有:

式(8)中:Q为锚固力,由拉拔试验确定,设计时取100样kN;K为锚杆安全系数,一般取K=1.5～2;γ为岩石体积力。

4 工程实例

伯方矿二盘区3#煤层平均厚度4.7 m,平均倾角4°,煤层节理中等发育,煤单轴抗压强度平均为5.38MPa。直接顶为灰黑色泥岩,平均厚度1.61 m,老顶为黑色细砂岩,平均厚度4.0 m,下部泥岩含粉质矿质。

4.1 极限平衡区的优化支护参数设计

根据极限平衡区锚杆参数计算公式,可得到二盘区轨道巷理论支护方案参数,见表1:

4.2 模拟分析计算

通过FLAC3D数值模拟计算,比较不同锚杆参数下巷道底板移近量,进而确定出锚杆参数。不同锚杆支护参数围岩变形情况如图2所示。

通过对以上模拟结果进行对比分析,可以得出二盘区轨道巷最终支护方案:

顶板采用BHRB400左旋无纵筋螺纹钢锚杆,杆长2 200 mm,直径20 mm,每排布置6根,排距900 mm,靠近巷帮顶锚杆安设角度与垂直方向成20°。巷道两帮采用普通金属锚杆,杆长1 800 mm,直径18 mm,每排4根,排距900 mm,间距850 mm。树脂加长锚固,锚固长度1 000 mm。顶板锚索呈五花眼布置,每个1 800 mm布置1根或2根,锚索长度6 000 m。

4.3 优化方案与原有方案对比

4.3.1 两种方案塑性区的比较

分别使用两种巷道支护方案,新方案在原有支护方案的基础上,通过优化锚杆参数,巷道围岩应力达到平衡后,加固巷道周围岩体,围岩只有小范围进入塑性状态,使围岩变形处于受控状态,实现较好的支护效果[7]。

4.3.2 两种方案位移的比较

巷道围岩应力达到平衡后,新支护方案使顶板最大下沉量和两帮最大移近量在原支护的基础上减小了20.5%和12.8%。

5 结语

不同的锚杆支护参数下,巷道的位移量有很大的差别。采用极限平衡法设计锚杆支护参数和支护方案,沿煤层底板掘进时,巷道小部分围岩进入塑性状态,顶板最大下沉量及两帮最大移近量比原支护方案下的相应参数分别减小了20.5%和12.8%,巷道围岩变形得到了有效控制,避免了顶板冒落对煤矿安全生产的威胁,可有效地达到巷道支护对锚杆的强度要求,提高巷道围岩整体的稳定性。

参考文献

[1]节茂科,方延强,周晓明.永久损失煤柱穿巷开采巷道临界宽度的计算[J].煤炭科学技术,2001,39(2):6-9.

[2]马立强,张东升.煤矿井下矸石置换煤炭清洁生产技术[J].煤炭学报,2010,35(5):816-819.

[3]赵建国.赵庄煤矿受采动影响巷道支护设计[J].煤炭开采,2011(2):59-61.

极限理论 篇9

关键词：耐久性设计,可靠度,极限状态

1 已有耐久性设计的主要理论和方法

1.1 环境指数评定法[2]

环境指数评定法首先由日本土木工程师协会混凝土委员会于1989年提出,曾列入日本《混凝土结构物耐久性设计准则(试行)》中。对于混凝土结构物的耐久性探讨,要求构件各部位的耐久指数Tp大于或等于环境指数Sp,即:Tp≥Sp。与以往的结构设计方法相比,该方法明确提出了结构耐久性设计的概念,并将设计条件写成R≥S的形式,与规范的设计表达式相同,而且较全面地考虑了影响耐久性的各个因素,特别是考虑了结构体系和构造的影响,直到今天这种思路仍值得借鉴。但该法在耐久性指数的选取上,人为的主观性较大,不同设计者可能给出的结果差别很大。

1.2 基于时变可靠度耐久性设计法[3]

基于时变可靠度耐久性设计法是直接计算不同时刻t的抗力效应R(t)与荷载效应S(t),用Monte-Carlo法求对应时刻功能函数的可靠度,从而求出结构的动态可靠度变化。从理论上讲,这种方法很适合结构的耐久性研究。从强度降低的计算、某一时刻结构抗力随机变量计算、功能函数可靠度计算到最终回归出动态可靠度函数,每个步骤都可使用计算机来实现。失效概率的计算方法可以采用现行规范的方法。混凝土结构耐久性失效的功能随机过程为:Z(t)=R(t)-S(t)。式中R(t)为结构抗力随机过程;S(t)为结构荷载随机过程。该方法已经考虑了抗力和荷载的随机变化特性,较环境指数评定法减少了人为因素的影响;但其可靠指标随时间变化的函数β(t)要靠很多现场试测工作和专家经验相结合才能求得。另外,Monte-Carlo法作为一种校核其他算法精度的方法,由于计算量大的缺点,应用于实际工程尚有一定困难。

1.3 基于耐久性的优化设计方法

结构可靠度的研究达到高潮以来,许多学者在这方面做了大量的工作。早期结构经济优化是从结构初始造价与结构倒塌损失期望值的和最小角度着眼。然而,大量工程调查表明,由于结构的耐久性不足,在设计使用期的费用甚至超过了结构初始的造价。在这种条件下,建立着眼于在结构的全生命过程中使结构的初始造价、倒塌损失期望值和维护费用的总和最小的基于寿命周期成本分析(Life Cycle Cost Analysis)方法进行耐久性设计优化[4]。在结构经济优化设计中,一个比较棘手的问题是如何估计结构倒塌的损失,它除了包括一些可以定量的因素外,还包括许多难以定量的因素,这方面的研究并不充分。另外,目前的可靠度分析只处于构件水平上,已有的结构体系可靠度分析方法尚不能完全反映结构整体可靠度的本质,况且结构的倒塌损失与结构的失效模式有关,不同的失效模式造成的损失也各不相同。因此,目前全寿命耐久性经济优化设计还只是一种概念,尽管如此,它对保持结构设计的合理性仍具有重要的指导意义。

2 基于概率极限状态理论的耐久性设计方法

耐久性设计应相对独立化进行,将可靠度理论引入环境指数评定法,进行基于概率极限状态理论的耐久性设计,将是探明耐久性设计的必经之路。

2.1 基本原理

极限状态模式失效概率的概念与结构承载能力极限状态相似。其特点是以等效的作用和材料抵抗环境的作用能力作为基本变量,分别以环境作用和构件材料抵抗环境作用的能力为随机变量,形成R和S,控制R-S≤0的概率。

2.2 耐久性极限状态

根据ISO 2394、WD13823和我国《混凝土结构设计规范》(GB 50010-2002)的情况,并考虑结构工程设计的具体特点,混凝土结构耐久性的极限状态应该取类似的使用极限状态。也就是结构构件的适用性受到影响,承载能力的影响可以忽略不计。

根据上述耐久性极限状态的原则,提出在各种侵蚀环境下混凝土构件的耐久性极限状态标志。

(1)碳化造成的钢筋锈蚀。对于钢筋混凝土构件来说,钢筋出现锈蚀并使保护层混凝土出现锈蚀造成的裂缝可以作为碳化造成钢筋锈蚀情况的耐久性极限状态标志。此时对于直径较大的钢筋来说,钢筋的截面损失率较小,构件的承载能力不会受到明显的影响,但损伤的迹象已经明显。对于预应力钢筋和直径较小的受力主筋,宜以钢筋具备锈蚀条件作为耐久性的极限状态。此时保证构件延性破坏的性能可能已经受到了影响。(2)冻融作用。混凝土表面出现冻融损伤,约相当于标准冻融试验终结的程度。此时,构件出现表面损伤或动弹模下降到一定的程度,内部混凝土未受到明显影响,构件的承载能力没有受到明显影响。混凝土的硫酸盐侵蚀、酸侵蚀、碱侵蚀、生物侵蚀等情况下的耐久性极限状态,可参照冻融损伤情况确定。也就是以表面出现明显的损伤作为耐久性极限状态的标志。(3)碱骨料反应。碱骨料反应情况宜以构件表面出现AAR反应造成的裂缝等作为耐久性的极限状态。而不以碱含量或骨料的碱活性作为耐久性极限状态的标志。(4)有害物质的影响。无论是掺加在混凝土内部的有害物质还是外部侵入到混凝土内部的有害物质都以造成实际的影响作为耐久性极限状态的标志。例如氯离子的侵入,以钢筋开始锈蚀作为耐久性极限状态的标志或以其浓度达到使钢筋开始锈蚀的程度作为耐久性的极限状态。

3 结语

混凝土结构耐久性设计方法应给予相对于抗力设计的独立性考虑,这是耐久性设计所需经历的发展阶段,而最终随着耐久性设计的成熟发展,会与抗力设计融为一体,或者基于实际设计需要而相对独立进行。

参考文献

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