二元一次不等式

二元一次不等式（精选九篇）

二元一次不等式 篇1

一、首先, 要透彻理解一次函数

我认为先透彻的理解一次函数, 是弄清二元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间关系的关键所在, 而认识一次函数应该解决以下几个问题:

1. 深入理解函数的概念

(1) 教材中对函数的定义是:一般地, 在某个变化过程中, 有两个变量x和y, 如果给定一个x值, 相应地就有了一个y值, 那么称y是x的函数.其中, 一个x值与一个y值成一一对应关系, 有一个x值, 就能确定一个y值, 反之, 有一个y值, 就能确定一个x值;

(2) 一元一次函数表达式是:形如y=kx+b的函数 (其中k, b为常数, k≠0;) , 当b=0时, y=kx为正比例函数.

2. 能熟练作出一次函数的图像

通过列表求对应值、描点、连线的方法.我们知道一次函数y=kx+b的图像是一条直线, 只要我们能求出直线y=kx+b与x轴和y轴上的两个交点坐标 (, 0) 和 (0, b) , 并在坐标轴上确定出这两个点的位置, 然后过这两个点作出的直线就是函数y=kx+b的图像;正比例函数y=kx的图像, 描一个点 (1, k) , 然后连接原点 (0, 0) 和点 (1, k) 所在的直线就是y=kx的图像.

3. 深刻理解一次函数图像的性质

(1) 当k>0, b>0时, 直线y=kx+b经过一、二、三象限, 且y随x的增大而增大, 直线与x轴正方向的夹角为锐角;

(2) 当k>0, b<0时, 直线y=kx+b经过一、三、四象限, 且y随x的增大而增大, 直线与x轴正方向的夹角为锐角;

(3) 当k<0, b>0时, 直线y=kx+b经过一、二、四象限, 且y随x的增大而减小, 直线与x轴正方的夹角为钝角;

(4) 当k<0, b<0时, 直线y=kx+b经过二、三、四象限, 且y随x的增大而减小, 直线与x轴正方向的夹角为钝角.

4. 一次函数y=kx+b与有序实数对 (x, y) 之间的关系

(1) 满足一次函数关系式y=kx+b的x与y的值所对应的点 (x, y) 一定在直线y=kx+b上;

(2) 在直线y=kx+b上的点的坐标 (x, y) 所对应的x与y的值一定满足一次函数关系式:y=kx+b;

二、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系

1. 从表达式上分析

一次函数:y=kx+b;

二元一次方程:kx+y=b;

一元一次不等式:kx+b>0或kx+b<0.

2. 从图像上观察

以一次函数y=3x+5为例, 作出函数y=3x+5的图像, 由图像可知:直线y=3x+5经过一、二、三象限, 与x轴的交点坐标为 (, 0) , 与y轴的交点坐标为 (0, 3) , 由于k=3>0, 所以, y随x的增大而增大.

(1) 当y≠0时, 即3x+5=y (为二元一次方程) , 有无数组解;

(2) 当y>0时, 即3x+5>0 (为一元一次不等式) , x>;

(3) 当y<0时, 即3x+5<0 (为一元一次不等式) , x<.

所以, 任何一个二元一次方程都可以化成一次函数关系式, 二元一次方程的解有无数个, 而以这个二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图像与这个二元一次方程化成的一次函数的图像相同.而一元一次不等式的解集可以通过观察对应的一次函数图像得出结论:即当k>0时, y>0在交点的右边部分, y<0在交点的左边部分;当k<0时, 反之.

3. 三者之间的关系

(1) 一次函数与二元一次方程、一元一次不等式都是反映事物客观、事物变化规律及其关系的模型.函数能够刻画事物之间对应变化的过程;方程能够刻画某个变化过程和一瞬间;而不等式则刻画变化过程中同类量之间的一个普遍现象或者是刻画变化过程中的某一个片段、范围;

(2) 一次函数与二元一次方程、一元一次不等式是相互渗透的, 又是紧密联系的, 解二元一次方程可以通过直接观察所对应的一次函数图像得到, 解一元一次不等式也可以通过直接观察所对应的一次函数图像得到;

(3) 一次函数、二元一次方程和一元一次不等式, 它们之间的关系反映了数与形的完美结合.

写本文的目的是, 笔者认为在研究三者关系时往往要用到数形结合的思想方法, 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”, 把抽象思维与形象思维相结合, 使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的.希望通过本文能使学生进一步提高对数图观念的理解及认识能力, 掌握从特殊到一般、从感性到理性的归纳方法.

摘要：学生在学习了如何解决二元一次方程、一元一次不等式和一次函数的独立性问题之后, 对于三者之间究竟存在一个什么样的关系, 还缺乏融会贯通, 感觉比较茫然.

关键词：一次函数,二元一次方程,一元一次不等式概念,图像,性质,关系,数形结合

参考文献

[1]北师大版八年级课本及《教材全解》.

二元一次不等式 篇2

二元一次不等式（组）与平面区域，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解。它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容。通过这两节课的学习，使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，体验数形结合和转化的思想方法，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

基于上述分析，我确定本节的教学重点是：让学生经历用图解法求最优解的探索过程，体会数形结合思想在解决数学问题时的优越性。1．本节课是以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想。

2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．在探究如何求目标函数的最值时，通过以下几方面让学生领悟数形结合思想、化归思想在数学中的应用

通过两节课的学习，我对本节课的想法和存在的问题作如下的反思：

1、对教学目标研究不透。表现在：一是对教学内容的知识进行简单罗列；二是对知识和方法要求掌握的程度不清，即了解、理解、掌握、应用或灵活应用、分析与综合、评价等研究不透，表述不清；三是对学生能力要求空洞而不具体，如培养学生实践能力和创新精神，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的合作精神等，不善于将这些隐性目标显性化。

2、教学设计中缺乏问题情境设置。多数课堂教学为了完成教学内容的任务，直奔主题，采用讲练结合，不够重视分析研究学生的已有经验，不善于应用数学与生活、生产和科技的联系，设置有趣的教学情境，致使数学教学空洞无味，学生无趣，学习的积极性不高，教学效果不佳。

3、课堂教学中教学方法单一。高中数学课堂教学中，满堂灌的现象尤为突出，教师讲的多，包办的多，许多本该达到解释水平的课，不少教师将此下降为记忆水平，“满堂灌”或“满堂问”（填空式问答，懂的要问、不懂的不问）；有的课把教学混同于学科习题机械训练和简单强化，“表面上像探究，实际上是讲解”，大部分学生还处于被动接受的地位，思考水平明显下降。不少老师对一些主要课型的教学策略和教学模式还停留在原有教学理念和教学要求的层面上。

4、教学过程未体现学科本质。似乎所有的教师都知道数学概念、公式、法则、定理等知识和数学思想方法，但在实际教学中往往是对教学内容的知识进行分析，理清解题思路，小结解题步骤和方法，对知识发生发展过程、价值和提炼解决问题的规律和数学思想方法体现不充分，致使教学效率不高。

5、课堂教学多“牵引”，少正确“引导”。今天的高中数学课堂教学中，教师虽然不像过去那样把结论、答案直接告诉学生，而往往是以提问的方式引出问题，但教师往往缺少等待，提出问题后很快就会以暗示性的语言迅速把学生的思路、解决问题的方法引到设计好的标准化的路线上来，然后在教师的牵引下迅速指向标准答案，一个教学过程就这样完成了。这对知识的传授也许是高效的，但是高效背后牺牲的却是学生的独立思考能力及实际解决问题的能力发展的空间和权利。与其说是引导，倒不如说是‘“牵引”，因为学生的主动性完全被抹杀了，只是被动地跟着教师转。

6、课堂教学效果检查未得到落实。课堂教学中更多体现完成教学内容性任务，一节数学课上完以后，学生实质上收获了多少，对知识和方法掌握的程度如何、问题何在，教师基本上不太清楚，只感觉到还可以，或者不太满意等情况。问题在于未落实课堂教学效果的检查，未得到教学效果的反馈信息，因此，教学目标完成情况也就不够清楚。

二元一次不等式 篇3

1.利用线性规划解决相关问题的关键是如何根据条件正确画出可行域。教材上总结了关于y＞kx+b与y＜kx+b所的表示的平面区域，学生在记忆与操作起来很不方便，我们在解决问题时可采用“直线定界，特殊点定域”的方法，即先画出相应的直线，注意是虚线与实线的区别，然后选特殊点定区域，常选用坐标原点（0，0）或点（1，0）把坐标代入不等式验证，若适合，该点所在的区域即为不等式所表示的区域，否则直线的另一侧区域即为所求。

例1：不等式x+4y-9≥0表示直线x+4y-9=0（）。

（Ａ）上方的平面区域

（Ｂ）下方平面区域

（Ｃ）上方的平面区域（包括直线）

（Ｄ）下方平面区域（包括直线）

解析：注意到坐标原点（0，0）不在直线上，把其坐标代入不等式得-9≥0不成立，因此原点所在区域的另一侧为所求区域，如图所示。故本题选（C）。

2.利用线性规划求解目标函数的最值时，一定要明确目标函数的几何意义，否则就有可能求解错误。

例2：在线性约束条件 下如何探求目标函数p=2x+y的最大值。

解析：首先作出可行域，再考虑目标函数p=2x+y的几何意义。将目标函数p=2x+y变形为y=-2x+p，它表示斜率为2，在y轴上的截距为p的一条直线，故要求p的最大值，只需平移直线经过可行域，求直线y=-2x+p的截距的最大值即可。可知，当直线过A（1.25，5）时，p有最大值7.5。

大值时x、y值。

解析：z=x2+y2不是线性目标函数，求它的最值可利用其几何意义求解：x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方，显然它的最值应在区域的边界上取得。

作出满足以上不等式组的可行域（如图），易知在这个区域中，点C（2，3）到原点O的距离最远。即z的最大值是22+32=13，这时x=2，y=3。又过O作直线的垂线，垂足 ，在点D处z有最小值 。

3.在利用线性规划的图解法解决生产规划问题即如何合理地利用有限的资源（如资金、劳力、材料、时间等），以使消耗最小，利润最大时，首先要整理相关数据，抓住问题的主要因素设未知数，将实际问题数学化。运用图表可将复杂数据表达清晰，然后根据条件列出线性约束条件。不要忽略变量的实际意义，漏掉相关约束条件，如时间、人力等变量非负。

例4：制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投甲、乙两个项目。根据预测甲、乙项目可能的最大盈利率分别是100％和50％。

投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解：设投资人用x万元投资甲项目，用y万元投资乙项目，由题意知:

目标函数z=x+0.5y。

上述不等式组表示的平面区域。如图阴影部分（含边界）即可行域。作直线l0:x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线z=x+0.5y，z∈R。与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M（4，6），且与直线l0：x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点。

可得x=4,y=6，此时z=4+0.5×6=7（万元）。

二元一次不等式 篇4

本节课是《普通高中课程准标实验教科书·数学 (必修5) 》 (人教A版) 第三章不等式中的二元一次不等式 (组) 表示平面区域第一课时.主要内容是二元一次不等式的几何意义, 二元一次不等式 (组) 与由若干直线围成的平面区域互相转化, 它是进一步学习简单线性规划内容必备知识.

二、学生学习情况分析

学生在学习了不等式、直线方程基础上, 有了形、数、等、不等的数学思想.学生的智力发展已到形式运演阶段, 具备较强的抽象思维能力和演绎推理能力, 但也有一部分学生基础较弱, 学习数学兴趣还不是很浓, 所以在授课时, 注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点, 从而促进思维能力进一步发展.

三、设计思想分析

建构主义学习理论认为, 学习是学生积极主动地建构知识过程.因此, 应该让学生在具体问题情境中经历知识形成和发展, 让学生利用自己原有认知结构相关知识与经验, 自主地在教师引导下促进对新知识的建构.通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般的问题, 层层铺垫, 组织和启发学生获得知识, 并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习, 通过生生互动和师生互动等形式, 让学生在问题解决中学会思考、学会学习.

四、教学目标

1.理解二元一次不等式几何意义, 会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域.能用平面区域表示二元一次不等式组, 能把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示.

2.能进行各种数学语言之间的转换, 体验数形结合思想的应用.

五、教学重点与难点

重点:理解如何用二元一次不等式 (组) 表示平面区域, 能正确画出表示二元一次不等式 (组) 的平面区域.

难点:如何确定二元一次不等式表示的平面区域.

六、教学过程设计

(一) 提出问题, 进入情境

问:坐标满足y=2x+1的点集是一直线, 那么坐标满足y>2x+1的点集又是什么呢?

学情预设:学生通过计算、观察、思考与讨论一般会猜得答案.若有困难, 则教师给予引导、启发.

设计意图:由具体的例子通过探究合作获得答案, 以便自然过渡到一般化情形.

(二) 探究问题, 构建知识

问:坐标满足y>kx+b的点集是什么?坐标满足y<kx+b的点集是什么?

学生思考回答后, 老师指出只要注意到不等式与方程y=kx+b中的x取相同的值时, 它们之间y的值有何关系便可得出答案.

设计意图:将问题一般化, 进一步使学生掌握问题的本质.

问题:判断正误.

(1) x>my+n表示直线x=my+n的右方区域.

(2) Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的某一侧所有的点组成的平面区域.

由学生思考、探究完成, 教师给予恰当引导、启发.

对于 (1) , 只要在两个式子中取相同的y值时比较x值的关系便可解决.

对于 (2) , 可分A≠0或B≠0对Ax+By+C>0进行移项变形便可解决.

设计意图:以类比、层层推进的思想设计问题, 能极大地激发学生的学习动机, 提高分析与解决问题的能力.

(三) 运用知识, 解决例题

例1 指出下列不等式表示的平面区域.

(1) mx-2y+n>0; (2) 3x+my+n<0.

答案: (1) 表示直线mx-2y+n=0的下方区域. (2) 表示直线3x+my+n=0的左方区域.

例2 画出下列不等式 (组) 表示的平面区域.

设计意图:通过具体问题的解决, 使学生掌握平面区域的判断方法, 逐步加深对知识的理解、对知识的迁移以及对方法的熟练.

师生归纳:画直线时, 应注意直线的虚实, 不等式组表示的平面区域应是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

(四) 及时训练, 深化认识

1.判断正误:若点P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) 位于直线Ax+By+C=0的同侧, 则 (Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C) >0.

2.画出不等式 (x+2y+1) (x-y+4) <0表示的平面区域.

3.由直线x+y+2=0, x+2y+1=0和2x+y+1=0围成三角形区域 (包括边界) 用不等式表示为.

设计意图:用练习去巩固、深化所学知识, 使学生逐步形成良好知识结构, 加强数学知识应用能力培养.

(五) 总结归纳, 梳理知识

1.y>kx+b (y<kx+b) 表示直线y=kx+b上方区域 (下方区域) .

x>my+n (x<my+n) 表示直线x=my+n右方区域 (左方区域) .

2.二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.

3.画二元一次不等式 (组) 所表示的平面区域应注意直线虚或实.

(六) 布置作业, 巩固所学

完成同步学习导航第69～70页.

七、教学反思

本节课先由学生探究、猜想具体的一个二元一次不等式表示的平面区域情况, 再到一般化情形, 即对于任一个二元一次不等式, 不经过画图都可迅速地判断它在直线的哪一侧 (上、下、左、右) , 同时指出原由.尽管与教材中的处理方式不同, 但这样比较符合学生的认知规律, 所得出的结论也是较为实用.并且精心设计例题与课内练习, 层层推进, 新意迭出, 使学生在亢奋、积极的状态中深化与巩固了知识, 提高了思维品质与能力.

“二元一次方程组”测试卷 篇5

1. 方程ax-4y=x-1是二元一次方程，则a的取值为（ ）.

A. a≠0

B. a≠-1

C. a≠1

D. a≠2

2. 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）.

A. x+y=3，

z+x=5.

B. x+y=5，

1x+y=4.

C. x+y=3，

xy=2.

D. x=y+11，

-2x=y.

3. 用代入法解方程3x+4y=2，①

2x-y=5，②，使用代入法化简，比较容易的变形是（ ）.

A. 由①得x=2-4y3

B. 由①得y=2-3x4

C. 由②得x=5+y2

D. 由②得y=2x-5

4. 设方程组ax-by=1，

（a-3）x-3by=4.的解是x=1，

y=-1.那么a，b的值分别为（ ）.

A.-2，3

B. 3，-2

C. 2，-3

D.-3，2

5. 方程5x+3y=27与下列的方程______所组成的方程组的解是x=3，

y=4.（ ）.

A. 4x+6y=-6

B. 4x+7y=40

C. 2x-3y=13m

D. 以上答案都不对

6. 甲、乙二人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒种分别跑x，y米，可列方程组为（ ）.

A. 5x=5y+10，

4x-2=4y.

B. 5x+10=5y，

4x-4y=2.

C. 5（x-y）=10，

4（x-y）=2x.

D. 5x-5y=10，

4（x-y）=2y.

二、 填空题（每小题4分，共24分）

7. 写出一个解为x=-1，

y=2.的二元一次方程______.

8. 若2x↑2a-5b+y↑a-3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______.

9. 由x3-y2=1，可以得到用x表示y的式子是____________.

10. 若a=1，

b=-2.是关于a，b的二元一次方程ax+ay-b=7的一个解，则（x+y）↑2-1的值是______.

11. 已知x=3，

y=1.和x=-2，

y=11.都是ax+by=7的解，则a=______，b=______.

12. 关于x，y的方程组y-x=m，

x+2y=5m.的解满足x+y=6，则m的值为______.

三、 解方程组（每小题5分，共20分）

13. 2x-y=5，

3x+4y=2.（用代入法）

14. x+2y=9，

3x-2y=-1.

15. 2x+y=1，

3x-2y=5.

16. x2-y+13=1，

3x+2y=10.

四、 解答题（5题，共38分）

17. （5分）若方程组2x-3y=k，

2x+3y=5.中的x和y互为相反数，求k的值.

18. （7分）甲、乙两人同解方程组ax+5y=15，

4x=by-2.时，甲看错了方程①中的a，解得x=-3，

y=-1.乙看错了②中的b，解得x=5，

y=4.试求a↑2006+-b10↑2007的值.

19. （6分）列方程组解应用题：用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.

20. （10分）某校七年级准备购买一批笔记本和钢笔奖励给优秀学生，学校采购人员到一文具店了解到过去购买这两种文具情况如下表：

＼&第一次购买＼&第二次购买＼&钢笔数量（单位：支）＼&3＼&6＼&笔记本数量（单位：个）＼&1＼&3＼&累计总费用（单位：元）＼&11＼&27

（1） 求钢笔和笔记本的价格各是多少元？

（2） 现在七年级需要购买25支钢笔和30个笔记本，需要的总费用是多少元？

（3） 由于考虑到学生的需要不同，七年级决定购买笔记本和钢笔共60件，购买的总费用不超过216元，试问最多能购买多少个笔记本？

21. （10分）一辆汽车从A地驶往B地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路. 已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h.

请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.

“二元一次方程组”测试卷参考答案

1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. D 7. 不唯一（如：x+2y=3） 8. a=-2，b=-1

9. y=2x-63 10. 24 11. a=2，b=1 12. m=2

13. x=2，

y=-1. 14. x=2，

y=72. 15. x=1，

y=-1. 16. x=3，

y=12. 17. k=25

18. 先解得b=10， a=-1，所以a↑2006+-b10↑2007=（-1）↑2006+-1010↑2007=1+（-1）=0.

19. 每块地砖的长为45 cm，宽为15 cm.

20. （1） 设钢笔每支x元，笔记本每个y元. 则3x+y=11，

6x+3y=27.解得x=2，

y=5.

（2） 需要的总费用为25×2+30×5=200元.

（3） 设能购买笔记本m个，由题意知：5m+2（60-m）≤216，解得 m≤32.

∴最多能购买笔记本32个.

21. 解：本题答案不惟一，可添加的条件有

（一） 问题：普通公路和高速公路各为多少千米？

设普通公路长为x km，高度公路长为y km. 根据题意，得2x=y，

x60+y100=2.2.解得x=60，

y=120.

答：普通公路长为60 km，高速公路长为120 km.

（二） 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？

设汽车在普通公路上行驶了x h，高速公路上行驶了y h. 根据题意，得x+y=2.2，

60x×2=100y.解得x=1，

y=1.2.

答：汽车在普通公路上行驶了1 h，高速公路上行驶了1.2 h.

二元一次不等式 篇6

1.优化教学 思路 ,提炼核心主线

李善良博士提出数学课堂教学必须“理清核心主线,优化教学过程”.一堂有效的数学课,应该有一条主线把教师、学生双方的理解和学习清晰地串起来, 对于教师依照设计好的主线,能轻松驾驭课堂;对于学生顺着主线,能清晰主动构建课堂教学所要达到的教学目标.

本节课是一节概念生成课,此概念来源于生活,有极其丰富的实际背景,要想深刻理解,达到教学目标,就必须设计好核心主线.笔者根据新课程理念,“教师为主导、学生为主体、探究为主线”的教学思想,提炼了教学核心主线:问题情境—提出问题—学生活动—意义构建—数学理论—数学应用—问题获解—反思提升.实际教学效果表明,这是一条行之有效的核心主线.

2.优化教学 情境 ,提高课堂效率

课堂教学中,情境是一切认知活动的开始,教师有目的地引入或创设生动具体的情境, 给学生架起探究的桥梁和引导学生寻求解决问题的正确途径, 新颖有力的情景可以提高学习的主动性, 形成教师主导作用和学生主体作用完美结合的课堂,使学生的智力、能力得到全面发展.本节内容有丰富的生活背景,适合创设生活问题情境.这节课的情境创设主要有两种设想:

情境一设 想 :银行信贷 资金分配 问题 (教科书提 供的案例).

情境二设想:某农户今年预计投入不超过6万元资金种植西瓜和葡萄, 已知它们的种植成本分别为每亩2万元和1.5万元,他计划投入西瓜种植的资金不低于葡萄种植的2倍,且两者的种植面积都不低于1亩,那么该农户应如何分配资金?

[设计意图 ]本节课教 材通过银 行信贷资金 分配问题 ,抽象出二元一次不等式 (组) 教学模型, 引出二元一次不等式(组 )的相关概 念 .这样编写 的目的是 使学生经 历从实际 问题中得到二元一次不等式(组)这一数学模型的抽象过程,了解二元一次不等式(组)这一数学模型产生的实际背景,体验数学问题是客观存在的,是从实际问题中产生的.但从此数学情境中得到二元一次不等式 (组) 的数学模型不但数据过于复杂,而且后续的探究和讲解中都没用到,大大降低了课堂教学效率.南京大学郑毓信教授指出:“情境设置不应仅仅起到‘敲门砖’的作用,还应当在课堂的进一步开展中自始至终发挥重要的向导作用.”由此笔者就从家乡的特产:西瓜和葡萄的种植过程中,农户的资金分配问题这一情境,抽象出二元一次不等式(组)教学模型,接着就围绕这一模型先引出二元一次不等式(组)的相关概念,而后探究得出二元一次不等式Ax+By+C>0的解集所 表示的图 形 ,最后利用所 学的知识解决 情境中提出的资金分配问题.对比两种设想,第二种更接近生活,比较简约、经济、实用,更能激发学生的学习兴趣.

3.优化数学问 题 ,探究建构概 念

新课程提倡让学生通过自主参与学习活动, 获得亲身体验,逐步形成乐于探究、勤于动手的积极态度.为了能够有效开展探究活动,本课就围绕教学主线,根据学生的“最近发展区”设置了层层递进的问题串,通过问题驱动,启迪和训练学生的思维,理性构建数学模型,形成数学概念.

问题串1:

师:这个问题中存在一些不等关系,我们应该用什么不等式模型刻画它们呢?

生 : 设西瓜种 植面积为x亩 , 葡萄种植 面积为y亩 , 则

师:我们该如何称呼不等式4x+3y≤12?

生(几乎齐声):二元一次不等式.

师:二元一次不等式有什么特征?

生:含有两个未知数,并且未知数的次数是1.

投影显示:我们把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式称为 二元一次不等式.

师:我们又该如何称呼不等式

生:二元一次不等式组.

投影幕显示: 我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x,y)构成的集合.

有序数对(x,y)→平面直角坐标系内的点.

【设计意图 】以西瓜和 葡萄种植 过程中的资金分配 为切入口,学生的前概念为突破口,引发学生思维,得到二元一次不等式(组)的相关概念.此组问题的设置可以使学生自觉运用已有的认知,不断同化新知识,从而达到调整、扩充和优化原有的认知结构,建立新的认知结构的目的.

问题串2:

在平面直角坐标系内,二元一次不等式的解集表示的图形?

师:方程x-2=0的解集为_____,如何在数轴上表示?

生:一元一次方程的解集所表示的图形是数轴上的一点.

师:不等式组的解集为_____.

生:一元一次不等式(组)的解集所表示的图形是数轴上的区间.

师:在平面直角坐标系内,二元一次方程的解集所表示的图形?

如二元一次方程4x+3y=12的解集所表示的图形?

生:直线4x+3y=12上的所有点组成的集合.

师:4x+3y≠12呢?

生:不在直线4x+3y=12上的所有点组成的集合.

师(追问):4x+3y>12呢?

生:直线4x+3y=12右上方的所有点组成的集合.

师:为什么?

生:我取了点(2,2)和点(4,1),它们都是不等式4x+3y>12的解,而且都在直线4x+3y=12的右上方.

师:这只是我们的直观感知,能否用数学方法加以证明?

生(沉思片刻):当x取2时,不等式4x+3y>12就变成y>4/3,由此可以得出横坐标为2,纵坐标大于4/3的点都在直线4x+3y=12的右上方.当x取4时,也有同样的结论.

师(追问):能否将上面的结论推广到一般情形?

生:设点(x0,y0) 是直线4x+3y=12上的任一 点 , 不等式4x+3y>12就变成y>y0,由此可以 得出当横 坐标为x0时,纵坐标大于y0的点都在直线4x+3y=12的右上方.

师:在直角坐标系中,以二元一次不等式4x+3y>12的解为坐标的点都在直线的右上方;反过来,直线4x+3y=12右上方点的坐标都满足不等式4x+3y>12.因此,在直角坐标系中不等式4x+3y>12表示直线4x+3y=12右上方的平面区域.二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面区域是什么?

生:表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.

师(补充):我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.如何快速准确地确定区域?

生:对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐 标(x,y) 代入Ax+By+C=0, 所得符号 相同 , 因此只需在直 线同侧取某个特殊点检测即可.

【设计意图 】由一元一 次方程和一元 一次不等式 (组 )的解集所表示的图形得到二元一次方程和二元一次不等式(组)的解集所表示的图形,体现了类比的思想方法;由不等式4x+3y>12表示的平 面区域推 广到一般的 二元一次不等式Ax+By+C>0表示的平面区域,体现了由特殊到一般的思想方法.此组问题的设计由浅入深, 层层递进, 让学生经历了对核心概念的发现、揭示、概括和理解的过程,体验了数学的理性精神.

4.优化数学例题,实现教材再创造

著名的数学教育家费赖登塔尔认为, 将数学作为一种活动来解释和分析, 学习数学的唯一正确的方法是让学生进行“再创造”.教师要科 学地把握学生的 认知规律 ,合理地对教材进行“再创造”,让学生通过创造数学学习数学.因此教师在例题教学中不能只停留在“就题解题”上,而应挖掘显现概念的内涵及其外延,展示“普通”题目背后的“精彩”,让学生在课堂上享受探究的快乐,真正实现对概念意义的建构.

例1:(1)画出不等式4x+3y≤12表示的平面区域;

(2)画出不等式2x≥3y表示的平 面区域.

例2:用平面区域表示不等式组的解集.

练习1: 用平面区域表示情境中不等式组的解集.

【设计意图 】此题组设 计的作用 :1归纳出作 平面区域 的12字方针:“直线定界、取点 定域、虚实 分明”;2教师利用 三角板规范地作出平面区域,起到了很好的示范作用.

例3:已知如图所示平面区域,请写出其所表示的不等式(组 ).

练习2:已知如下所示平面区域图形,请你写出其所表示的不等式(组).

【设计意图 】例3及练习2的设计意图 是培养学生的逆 向思维,题目的呈现由易到难,层层推进,思维得以升华.在例3的教学中采用多媒体技术,充分展示了数学美,激发了学生的求知欲望.

拓展提升:画出(x+2y-1)(x-y+3)>0表示的平面区域.

【设计意图 】通过“拓展 提升”的 “潜在距 离”的控 制 , 当变异控制在学生的“最近发展区”时,变异会引起学生的注意,从而产生观察、比较、联想等一系列思维活动,有利于学生的“再创造”和对知识进行正迁移.

课后探究:在练习1中我们作出了情境中不等式组所表示的平面区域,从中得知分配资金的方式有多种,如果你是农户该怎么分配资金?

【设计意图 】课后探 究的设计体 现了教学的有始有 终 ,让学生真正体会到数学来源于生活,用之于生活,不但激发了学生的求知欲,更有效地完善了学生的经验系统,提升了学生知识网络建构的水平.

5.结语

应用二元均值不等式求最值例说 篇7

定理1: (1) 任取a>0, b>0, 则, “=”当且仅当a=b时成立;

(2) 任取a, b∈R, 则a2+b2≥2ab, “=”成立的条件是a=b.

不等式链:任取a>0, b>0, 则, “=”成立的条件是a=b.

过去的中学数学教材既讲“二元均值不等式”, 也讲“三元均值不等式”.新课程 (必修5) “不等式”一章只讲“二元均值不等式”, 我们在教学中自然应把“应用均值不等式求最值”限定为“应用二元均值不等式求最值”.尽管必要的训练内容少了些, 但是要求学生代数式变形的能力反而更强了.基于此, 笔者基于本人经验撰写本文, 供同学们学习参考.

2. 灵活应用二元均值不等式求最值

基本用法:坚持“一正、二定、三相等”.

例1当a>b>0时, (1) 求的最小值; (2) 求的最小值.

解: (1) 由a>b>0, 得, 所以, 当且仅当a=6, b=3时, “=”同时成立.故所求最小值为9.

(2) 由, 得, 当且仅当时, “=”同时成立.

例2 (1) 设x∈ (0, 2) , 求的最大值;

(2) 设x∈ (0, 1], 求的最大值.

解: (1) , 所以f (x) max=4.

(2) , “=”成立的条件是1+x=3-3x, 即.所以, .

例3已知a, b, c>0, 并且a (a+b+c) +bc=, 求f=2a+b+c的最小值.

解:转化已知条件, 得 (a+b) (a+c) =, 由均值不等式, 得

, “=”成立的条件是如当时, 有.

∴.

3. 逢失败恰当调整, 重建结构

我们经常会遇到应用均值不等式“失败”的情况, 通常是指应用均值不等式缩小到了一个取不到“=”的常数.譬如, 当时, 由于, 但“=”不能成立.每逢遇到这种情况, 有些同学就放弃了之, 这就很可惜!其实, 仔细分析一下等号不成立的原因, 就会迎来一个自觉的修复, 获得成功:由于, 而, 所以, 两者取值范围交集是空集, 当然取“=”的条件不能成立.这时, 我们把拆出来一部分, 使之与配合, 再应用均值不等式, 就有;再由另一部分, 得到同向不等式.同向相加, 可得, 当时, 取“=”.从而得到在上的最小值是.当然, 也可以把加大一些再加以尝试:

由相加, 得最小值是.

无数事实证明, 遇到“失败”, 常常能够重建结构, 恰当调整, 确认最值.

例4设x∈ (0, 1], 求的最小值.

解:构建同向不等式组所以, , “=”成立的条件是x=1, 所以, ymin=5.

例5求下列函数的最小值:

(1) ;

(2) , 其中常数a∈R.

解: (1) 构建同向不等式组

所以y≥5=y (0) , 即ymin=5.

(2) 原函数可变形为.

若a=0, 则, “=”成立的条件是x=±1;

若a<0, 则, “=”成立的条件是;

若0

若a>1, 则以及, 构建同向不等式组:相加, 得, 当“x=0”时取“=”.

综上所述, .

4. 应用二元均值不等式求多元极值

例6设x>y>z, 求的最小值.

解:由x>y>z可得x-y>0, y-z>0, x-z= (x-y) + (y-z) , 所以

即x+z=2y时, 取“=”, 所以fmin=4.

例7任取不全为零的实数x, y, z, w, 试求的最大值.

解:引入正数a, 使得,

故xy+2yz+zw

, 其中“=”成立的条件是即

所以, .

5. 应用二元均值不等式探究函数极值

(一) 二次分式函数

例8 (1) 求的最小值;

(2) 求的最大值;

(3) 求的最小值.

解: (1) 由x-1>0, 得, 当x=3时“=”成立, 所以, ymin=4.

(2) , 当x=1+槡2时, “=”成立, 所以, .

(3) , 当时, 取“=”, 所以, ymin=16.

(二) “对勾”类分式函数

形如以及的函数性质, 通常基于其极值的探究.

例9求在 (0, +∞) 上的最小值.

解:当x>0时, 由均值不等式, 得

例10求的最小值.

解:当x>0时, 由均值不等式, 得

另外, 当x>0时, 有, 得的最小值是3.

例11求的最小值.

解:当x>0时, , 故f (x) min=4.

另外, 当x>0时, 由, 得的最小值是4.

例12求函数的最小值.

解:当x>0时, 有

故f (x) min=5.

另外, 当x>0时, 由, 得的最小值是5.

6. 与其他知识综合交汇

均值不等式除与函数紧密相连之外, 在三角、解析几何等有关最值计算中, 都有广泛灵活的应用.

例13设, 求的最小值.

解:由, 得

, 当以及时“=”成立, 所以, fmin=9.

例14当, 求

(1) 的最小值;

(2) 的最大值.

解: (1) 由, 得,

所以, ymin=5.

(2) , 当时, 取“=”, 所以, .

例15在曲线上任取一点P (x, y) , 求f=|x|-|y|的最小值.

解:按题意, 有, 即4x2-9y2=36, 也即 (2|x|+3|y|) (2|x|-3|y|) =36,

所以, f=|x|-|y|

, “=”成立的条件是

例16已知A (x1, y1) 和B (x2, y2) 是曲线C:x2-y2=2 (x>0) 上的两点, 求f=x1x2+y1y2的最小值.

解:由题意知,

即

由题意知, x1>0, x2>0以及|x1|>|y1|, |x2|>|y2|, 所以,

当时, “=”成立, 所以, fmin=2.

例17抛物线y=x2上的动弦AB的长度为定长l, 求弦AB的中点P到x轴的距离的最小值.

解:设P (x, y) , 即求ymin.

记A (x1, x12) , B (x2, x22) , 则

二元一次方程组“错解”档案 篇8

1. 求解不完整

错解: (1) + (2) , 得2x=4, 解得x=2, 所以原方程组的解是x=2.

剖析:错解只求出了一个未知数x的值, 没有求出另一个未知数y的值, 所以求解是不完整的.

正解:方程 (1) + (2) , 得2x=4, 解得x=2, 将x=2代入 (2) , 得y=0.

我的启示:用消元法来解方程组时, 只求出一个未知数的解, 就以为求出了方程组的解, 这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解, 而不是一个解.

2. 忽视检验

剖析:二元一次方程组中各个方程的公共解, 才是这个方程组的解.错解中忽视了对另一个方程的检验.

我的启示:检验方程组的解时, 应把解代入方程组中的每一个方程, 只有使两个方程都成立时, 才是方程组的解.

3. 运算错误

剖析: (1) - (2) 的结果出现错误.

正解: (1) - (2) , 即 (3m+2n) - (3m-n) =7-5.去括号, 得3m+2n-3m+n=2.

我的启示:学习了二元一次方程组的解法后, 我感到加减消元法比代入消元法方便好用, 但用加减消元法解方程组时常常受到符号问题的困扰.我的错解告诉我, 解决问题的关键是要正确应用等式的性质, 重视加与减的区分.

4. 变形错误

剖析:错解将解方程组整理时大意失荆州, 移项没有改变符号.

(4) - (3) , 得, 代入 (3) , 得.

《二元一次方程与一次函数》测试题 篇9

——托尔斯泰（俄国文学家、思想家，1828-1910）

一、填空题（每小题5分，共30分）

1. 一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，与坐标轴围成的直角三角形面积为.

2. 若一次函数y=（2m-1）x+2-m的图象不经过第四象限，则m的取值范围是.

3. 对于方程组x+y-2=0，4x+4y-4=0而言，解的情况是，由此可知，函数y=-x+2与4y=-4x+4的图象在同一坐标系中的位置关系是（填“平行”或“相交”）.

4. 已知直线y=-2x+1与y=kx交于点（-2，a），则a=，k=.

5. 一次函数y=a1x+b1，y=a2x+b2（a1、a2、b1、b2均为常数）的图象有唯一的交点，则方程组y=a1x+b1， y=a2x+b2有解.

6. 图1中的两条直线l1 、l2的交点坐标可以看做是方程组的解.

二、选择题（每小题5分，共30分）

7. 方程组2x+4y+1=0，x-2y+2=0的解是下面哪两个一次函数图象交点的坐标？是（）.

A. y=x-和y=x-1 B. y=-x-和y=x+1

C. y=-x-和y=x-1D. y=x-和y=x+1 8. 若以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数，并画出函数图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）.

A. 无解B. 有唯一解C. 有无数解D. 以上都有可能

9. 已知关于x、y的二元一次方程kx+y=5的一组解是x=1，y=3，则函数y=kx的大致图象是（）.

10. 若两条直线ax-3y=5和2x+by=1的交点坐标是，-1，则a、b的值分别是（）.

A. 1和2 B. 4和0 C. 和-1 D. 0和4

11. 直线kx-3y=8与2x-5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值是（）.

A. 4B. -4C. 2D. -2

12. 已知x=3，y=-2和x=2，y=1是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b的解析式为（）.

A. y=-2x-3B. y=x+C. y=-9x+3D. y=-x-

三、解答题（每题10分，共40分）

13. 画出直线y=x+2的图象.（1）求当x=-5和x=-1时y的值；（2）求当y=和y=1时对应的x的值；（3）求方程x+2=0的解；（4）求不等式x+2＜0的解集.

14. 用图象法解方程组y+x=3，y-3x=-5.

15. 若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的图象的交点，求a的值.

16. 图2表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港到乙港的行驶过程中，路程y（km）随时间x（h）变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）.根据图象回答问题.

（1）请分别求出轮船和快艇行驶过程中路程和时间的函数关系式.

（2）轮船和快艇在途中行驶的速度分别是多少?

（3）快艇出发多长时间追上轮船？