代数研究（精选十篇）
代数研究 篇1
数据库是对客观世界一部分(可能是一个企业、一个单位等等)的抽象描述。各种数据是对客观事物的属性、数量、位置或对它们的相互关系的形式表示，是各种信息的载体。目前己经有许多形式的代数或者逻辑等方法对客观事物的描述提供了可用的工具，也为数据库各种模型的建立提供了一些理论基础。
随着信息化进程的推进，数据库正在日常生活和经济发展中发挥着越来越重要的作用，而数据库查询处理的方法和工具都是以数据的确定性为前提[1]。当前，在很多领域发现了大量的不确定性数据[2,3,4,5]，如在面部轮廓识别系统中，即使是同一个人，不同照片的面部轮廓也不可能完全相同，如果使用关系模型进行严格的匹配，将很难得到准确的结果。
传统的基于精确数值的关系数据库技术已经非常成熟了，因此当前的关于概率数据库的研究一般都以传统关系数据为研究基础。但是概率关系模型中的许多操作又和传统的关系模型是不一样的，因此要采用各种不同的手段实现概率关系的各种操作。本文基于概率关系的可能世界基本概念和概率关系可能世界的基本性质，对概率关系的元组进行了分类，分为相互不相容的元组和相互独立的元组，提出了概率关系合并操作和概率关系代数，为有效地对概率关系查询奠定了基础。
1 可能世界
概率是解决不确定信息的比较适用的方法。经典关系数据库处理不了具有概率的数据，所以要对此种数据库在这方面加以推广，也就是非经典关系模型。从1988年Klir和Folger将不确定性数据分为模糊型和概率型后，对概率关系的研究不断深入，许多科研工作者都提出了自己对概率关系模型的描述，使得概率关系模型越来越趋于完善。
在概率关系中，把一个对象称为一个元组，一个对象在某些不确定方面所构成的组合称为该元组的一个可选元组。每一个可选元组的出现是不确定性的。因此一个元组会有很多可选元组，对于概率关系中的所有元组，从每一个元组中抽取一个可选元组，这样的可选元组组成的一个关系，称之为一个可能世界。
概率关系实际上由一组可能世界组成，每个可能世界包含了每个元组的一个可选元组，如果一元组中包含空(用φ表示)可选元组，在可能世界中不把其明确写出。可能世界有以下性质：
(1)可能世界的数目是每个元组的可选元组数目之积，每一个可能世界出现的概率也是每个可选元组的概率之积。
(2)可能世界的概率之和为1。每一个可选元组都会存在于一组可能世界当中，这些可能世界的概率之和等于此可选元组的概率。
当一个概率关系中每一个元组都含有一个空可选元组且其概率不为零，则其可能世界中含有一个由所有元组的空可选元组组成的可能世界，称这为空可能世界。空可能世界的概率是所有空可选元组的概率之积。
性质1：对于一个N个可选元组的概率关系，最多会出现2N个可能世界。
性质2：若一个概率关系中有一个确定性的元组，即其所有可选元组的概率之和为1，则这个概率关系没有空可能世界。
2 概率关系的元组分类
在关系R中取值不确定的属性称之为不确定性属性，用R.E表示。
在关系数据库R中，如果两个元组的确定性属性取值相同，并且它们的取值的概率都是小于等于1，那么就把这两个元组称之为不相容的元组。也就是说，对于同一个元组的两个相同的可选元组x和y，可以有：
式(1)中，p(x)代表元组x的概率。
在关系数据库R中，如果两个元组的确定性属性取值不相同，并且它们的取值概率都是小于等于1，那么就把这两个元组称之为相互独立的元组。设x和y分别是不同元组的可选元组，则可以有：
每一个概率表都可以存储在一个标准的关系数据库中，只是需要在元组的最后加上一个概率属性ps表示概率即可。但由于概率关系的元组之间的性质是不相同的，因此不可以用确定性的关系数据库规则进行处理概率数据库的数据。概率数据库的意思也可以理解成包含概率属性的一组可能世界，在可能世界里有一个概率属性。
本文主要强调每一个确定性的属性都是关键字的一个部分。通常，每一个概率表R都有一个关键字R.key，通过定义，这种关键字属性的集合在每一种可能世界里形成一个关键字。很显然，在R.key中的属性是确定性的，而其它的属性是不确定性的。当一个概率表只有确定性属性的时候，也就是说数据库中的每一个元组发生的概率都小于等于1,并且任意两个元组之间是相互独立的事件。
3 概率关系代数
设x是概率关系模式R上的元组，若A∈R，而且x(A)不是空值，则称x在A上有定义，记作，否则称为在A上没有定义，记作。若S∈R，且对存在A∈S，有，则称x在上有定义，记作，否则记作。若y也是R上的元组，而且对于所有A∈R，只要就必有x(A)=y(A),则称x归类y，记作x≥y。
设R是概率关系模式，R'=R-{pS},对R上的任意两个元组x及y,x与y相等，记作x=y，当且仅当(x(R')≥y(R'))∧(y(R')≥x(R'))。
这个定义是值相等在含空值关系中的推广。在含空值的关系中，不允许值相等的元组出现在同一个关系中。如果由于某些运算发生了两个值相等的元组在同一个关系中，则必须运用合并运算进行合并。
加合并主要运用在投影运算中，两个值相等的元组x,y的加合并记作，定义如下：
若x与y相互不相容，则z(ps)=x(ps)+y(ps);
若与相互独立，则z(ps)=1-(1-x(ps))(1-y(ps))。
最大值合并用在并运算的定义里，两个值相等的元组x,y的最大值合并记作z=x茚y，定义如下：
值相等，加合并以及最大值合并操作并限制于两个元组。设在关系模式R上有m个元组x1,x2,…,xm，如果对于任意的i,j,1≤i,j≤m,都有xi=xj，则称这m个元组的值相等，并且对于它们的加合并操作可定义为：
同样，它们的最大值合并操作可定义为：
现在把关系运算推广到含空值的关系中去。这个推广的一个重要的性能是上述两种解释的语义都能用这种关系运算来表达，推广的关系运算支持空缺概率的任一种解释。这样用户既可以用单个值也可以用区间来表示不确定性的参数，而关系运算都能得到与用户选择的类型一致的计算结果。本文所举事例都是按方法1来计算的,也就是说,所查询到的元组的概率是一个区间。
(1)投影运算
设r是关系模式R上的关系，S奂R，则r在S上的投影记作πs(r)，定义如下：
当T奂R时，有：
(2)改名运算
当关系模式中的某些属性的名称相同时，就需要把一个关系中的属性重命名。设r是关系模式R上的关系，A与B是两个相同的属性，A∈R,B R,A与B有相同的域，令Q=(R-{A})∪{B}，则A改名为B后，r变为：
(3)交运算
设r和s是关系模式R上的关系，S奂R，则r和s在S上的交运算记作r⌒s，定义如下：
(4)笛卡尔积
笛卡尔积是两个没有共同属性时的自然连接运算。设R,S满足以下关系的关系模式：
r和s分别是R和S上的关系，则r和s的笛卡尔积记作r×s，是(R⌒S)上的关系，并且r×s=r∞s。
以上介绍了四种基本的代数运算，其它的代数运算如θ连接运算、α截取运算、条件运算等都可以由这四种运算表达。
4 结束语
本文基于概率关系的可能世界基本概念和概率关系可能世界的基本性质，为了能够有效地对概率关系查询进行评估，对概率关系的元组进行了分类，分为相互不相容的元组和相互独立的元组，并提出了四种概率关系运算，下一步的工作将研究概率数据查询的实现。
参考文献
[1]孟小峰,周龙骧,王珊.数据库技术发展趋势[J].软件学报,2004,15(12):1822-1836.
[2]Klir G J,Folger T A.Fuzzy sets,uncertainty,and information cost and database design.ACM Trans.Database Syst,1988,11(2):159-185.
[3]Imielinski T,Witold L J.Incomplete information in relational databases.J.ACM,1984,31(4):761-791.
[4]Abiteboul S,Kanellakis P,Grahne G.On the representation and querying of sets of possible worlds.In IGMOD,1987.
关系代数与SQL查询优化的研究 篇2
详细分析关系代数表达式等价变换前后的查询代价.针对DBMS查询优化器如何生成成本最小的查询计划问题,给出关系代数表达式的优化规则.提出基于关系代数运算等价变换规则的`SQL查询优化策略.该策略提供了查询优化器生成成本最小的查询计划的设计依据.
作 者：王峥 王亚平WANG Zheng WANG Ya-ping 作者单位：王峥,WANG Zheng(郑州铁路职业技术学院,河南郑州,450052)
王亚平,WANG Ya-ping(西安外事学院,陕西西安,710077)
线性代数“问题解决”教学研究 篇3
关键词：线性代数；数学素养；教学改革；问题解决
一、线性代数教学面临的挑战
随着科学技术的飞速发展，计算机软件在各个学科普及，数学学科的基础学科地位在得到了加强的同时必须面临来自工程领域更多的挑战。自然科学特别是工程领域需要更多的数学理论支持，对从事工程领域研究的工程科技人员来说，数学既是重要工具又是基本素养，而数学知识和素养的获得主要来源于大学学习阶段。因此，大学数学教学特别是基础数学课程教学对学生的后继课程学习和毕业后工作和研究有着重要的影响。
线性代数是高等学校理工科和经济学科等相关专业的一门重要基础课，广泛应用于数学的许多分支以及众多科学技术之中。线性代数课程教学面临的问题主要有：部分教材内容有待更新，现有教材不能反映科学技术的发展和工程技术的要求；部分教师自身知识面相对较窄，缺乏对实际应用问题的把握，课堂教学偏重理论而轻视应用背景；课程内容抽象，定理、概念繁多，学生难以对课程形成整体认识；课堂教学手段较单一，与现代化的手段结合得不好。在目前课时紧张、高等教育大众化、高校学生价值取向多元化的前提下，逐步解决上述问题，并进行数学教学改革，有效培养学生数学素质，激发学习兴趣，提高学生对数学理论的应用能力是一个值得深入探讨的课题。
近年来，很多专家学者特别是教学一线教师对线性代数教学改革进行了较为深入而充分的研究，主要分为两类：其一是对传统教学模式进行改进，这些研究占了绝大多数，总体上还是传统教学模式的大框架；也有一些是以现代数学教学方法为基础，提出了研究性教学方法的观点。相对而言，研究性教学对培养大学生的研究能力和创新能力更为有效，适应时代发展和教育改革的需要，必然越來越受到重视，其中几种典型的研究性教学方法，如案例教学、基于问题解决、基于问题学习的教学方法在教学实践中得以发展。本文在探讨问题解决教学观的基础上，提出了以问题解决为核心的线性代数教学模式，并对相应问题解决课堂教学模式进行理论研究。
二、“问题解决”数学教学观
问题解决的教学观点首先在第六届国际数学教育会议（ICME-6，1980）“问题解决、应用和模型化”专题组的课题报告中提出，是一种旨在培养学生利用数学知识和数学方法创造性地解决实际或理论问题的能力的教学方法。教学中将学习内容设计成让学习者通过解决问题来获得相应的问题图式（problem schema）和观念性理解（conceptual understanding）。问题是这种教学方法的动机与牵引力。它不同于课堂上的问题解答，也不是以设问来组织课堂教学，或那种教师带领学生分析、寻找解决问题的办法。它首先需要在“课题”开题和方案论证中，刺激学生提出高质量的常规性问题和非常规性的问题。问题解决活动有可能使学习者激活自己的原有经验，通过积极地分析生成新的理解、新的假设。这一教学过程的结果既可能是对原有知识经验的丰富、充实，又可能是对原有知识经验的调整、重构。其目的是培养学生的数学意识，让他们学会用数学的理论、思想方法分析解决实际问题。
当前关于问题解决教学在大学数学教学中的理论研究和实践已经有一些成果，而专门对线性代数教学研究则几乎没有。笔者认为，线性代数内容相对较少，教学体系比较紧凑，与其他学科和生活实际联系广泛，有利于进行问题解决教学理论和实践研究。
三、线性代数“问题解决”教学
线性代数的线性方程组问题大都是来源于生活实践，另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。线性代数在工程领域以及经济学领域都有很多应用，包括经典线性系统理论，投入-产出分析模型，交通运输问题，指派问题等。这些理论与实际问题经过适当的处理，能够参与课堂教学过程中。
“问题解决”教学的另外一个关键是：问题解决的过程必须实现教学内容要求、师生素质、教学条件实现的有机结合。问题解决立足于教学大纲，对教师、学生都提出了更高的要求，同时需要学校的教学设备例如机房等硬件设施具备，是系统的。所以，实际中如何操作是更为关键的问题。本文以行列式内容教学进行了初步尝试，以期达到抛砖引玉的目的。
在行列式教学教师提出下列问题：运筹学中的线性规划问题；由二阶行列式类比定义三阶行列式；计算方法中的插值问题，克莱姆法则的证明。两个变量的线性规划解决方法可以通过图解法，这个来源于实际问题的讨论展开可以引出一般的方程组解的问题，及含有两个变量的方程组有解的充要条件，这里紧密衔接高中内容和实际生活，有利于教学的展开。二阶到三阶行列式的类比定义，可以通过计算过程实现，那么对一般行列式的定义就不难引出。最后是行列式的计算，通过定义的方式是不现实的，那么学生必然去探索新的方法。我们引入计算方法中的插值问题，自然会让学生有更大的兴趣去探求；课堂上实现克莱姆法则的证明，则更进一步对行列式的计算方法更多的关注，从而实现教学的最大目标：创新、应用能力的培养。
四、后继工作
同其他研究性教学方法一样，“问题解决”教学方法理论和实践存在很多难点，主要包括问题难于设计，知识系统学习难以保证，教学过程难于掌握等。而科学合理和有效地以问题解决为核心的教学模式构建也需要继续探索，教学实践也有待展开，需要我们做更多的研究和工作。
本文对“问题解决”教学方法进行了探讨，提出了线性代数问题解决教学观点，并从理论上分析了线性代数问题解决课堂教学模式。
参考文献：
[1]张素亮，刘明成.数学教育中的问题解决[J].曲阜师范大学学报，2002，（1）.
[2]李超，邓四清.让问题解决教学进入大学数学课堂.湘南学院学报，2006，（4）.
[3]王子兴.数学方法论[M].武汉：中南大学出版社，2002：19-28.
[4]高希尧.世界数学史略[M].西安：陕西科技出版社，1992：205-233.
XML代数查询优化研究 篇4
XQuery是XML查询语言的推荐标准。XQuery处理策略有两种方法,一种是基于核心语法一次一结点的方法,另一种是基于查询代数的一次一集合的方法。单独使用这两种方法都不能很好地处理XQuery查询。一方面,基于核心语法树的方法效率低,而且很难优化,而现有基于代数的方法又不能很好地满足XQuery的过程化查询语言的特性。基于这样的目的文献[1]提出了一种名为Oreint XA的有效查询代数,该代数结合了一次一结点及一次一结合的两种处理方法,是一种有效的代数系统。该代数的优点是根据XQuery语言的特点,明确提出了包括强绑定/弱绑定、结点绑定/序列绑定等概念;引入Sequence操作符,有效结合了两种XQuery处理策略的特点,能有效地表达XQuery查询,这是Orient XA区别于现有XML代数系统的最大不同之处。
2 问题的提出
XML的查询优化,工作内容有两部分:
(1)逻辑代数的定义及逻辑优化技术,这里的逻辑代数可以转化为不同的物理代数,例如原生代数或是扩展关系代数。
(2)物理存储结构的设计和物理优化技术。
从优化策略上看,XML数据管理的数据库支持有两类,扩展关系型数据库和原生型数据库。对于扩展关系型数据库,是将XML文档转换成关系数据,将XQuery转换成SQL表达式,查询优化的空间为从XQuery到SQL的转换空间和SQL自身的优化空间。对于原生型数据库,是将XML文档直接存储于物理存储设备,以标记有序树作为数据模型,XQuery查询将转换为一系列的作用于XML树上的操作,查询优化的空间在于操作本身。
从优化层次上看可分为:
(1)语言级:查询语言的优化。
(2)代数级:查询代数的优化。
(3)物理操作级:物理优化技术。
在文献[1]提出的代数系统基础上,本文考虑代数级的优化。优化的目标是,在得到相同结果集情况下,使查询执行更有效,更少的执行时间。
3 问题研究
XML树形结构数据模型比关系模型在本质上有更强的复杂性,从而给XML的查询优化带来了困难。由于效率原因,传统的基于代价估计的查询优化并不适宜大量XML数据的查询。因此本文采用了基于启发式的代数查询重写方法,即将XML查询表达式写成代数表达式,完全采用等价的方式来处理代数表达式,从而获得更好的查询效率。
谓词下移是关系数据库中进行启发式查询优化中的重要手段。很多文献都有介绍。在XML数据库中,也考虑选择谓词下移策略。
上边的查询,选择谓词$b/author/first="Smith"就可以先于连接操作执行,以使参与连接的集合变小。一般来说,如果一个内层谓词提到外层之后,该谓词所约束的子句是一样的,那么该谓词就可以提到外层,以提高查询效率。但是,对于XML查询以模式树结构作为操作对象,在选择谓词下移时,还需要考虑选择操作的范围问题。
选择谓词$b/title=$v/title的操作范围是(用XPath表示)doc("http://bookstore1.com/bib.xml")//book[publisher="Adsion"]&
doc("http://bookstore2.com/bib.xml")//review。但是针对谓词$b/author/first="Smith"的操作范围是受{$v/content}影响的,而不是doc("http://bookstore.com/bib.xml")//book[publisher="Adsion"]。因此不能将谓词下移到$b/title=$v/title执行。
除了选择操作下移可以提高查询效率外,抽取操作的尽早执行,也可以尽早给出模式树,一方面,减小模式树的规模,另一方面,也减少扫描文档的次数。考虑通过改变抽取与其他操作的次序,将抽取操作合并。
在XQuery代数中,由于抽取操作可能作用于大的文档产生任意多的实例树,是一个潜在的昂贵操作。在查询计划中,考虑将多个抽取操作合并。这样,全部抽取操作的代价可以降低,避免多次扫描文档。另一方面,可能将一个抽取工作拆开,由多个抽取操作完成,以实现子表达式的重用。
由于XQuery没有显式的GROUPBY语句,查询结果的分组通常由嵌套的FLWR表达式实现,将其转换成一个连接操作。这样的连接操作是作用于同一文档的,成为自连接。考虑取消这种连接,因为连接操作是比较费时的操作,而抽取则相对省时。有下面的规则X1!"c X2=EP1∪P2,假设X1,X2的模式树分别为P1,P2,如果P1,P2为同一文档,那么用抽取操作代替连接操作,这时操作范围被改变为这个文档,抽取模式树P1∪P2。
看下面的一个例子,通过静态的路径投影来实现连接的结果。
let$p=doc("http://bookstore.com/price.xml")/book[title=$t]/price可以改写成为
let$b=doc("http://bookstore.com/price.xml")/book[title=$t],let$p=$b/price。
除了上面给出的启发性原则,还有一些原则,如先分组后连接,提取公共表达式等。
4 总结及展望
以上在Oreint XA的基础上,给出了查询优化的等价变换公式,提出五种启发性优化原则,特别是如何利用语义信息进行优化,提高了查询的效率,达到了优化的目的。但是本文给出的启发性原则中,如何快速的判断谓词的作用域并且确定什么时候谓词下移,是我们将来需要研究的方向之一。提取表达式中,如何解决嵌套问题,也是将来研究的方向。
摘要：随着XML数据大量出现在Web上,XML数据库研究成为数据库研究热点。逻辑代数的定义及逻辑优化技术是查询优化的一个方向。在OreintXA代数的基础上,考虑代数级的优化,优化目标是,在相同结果集情况下,使查询执行更有效,执行时间更短。
关键词：XML,查询优化,代数
参考文献
[1]罗道锋,蒋瑜,孟小峰.OrientXA:一种有效的XQuery查询代数[J].软件学报,2004,15(11):1648-1660.
[2]何震瀛,李建中,王朝坤.一种XML数据库的数据模型[J].软件学报,2006,17(4):759-769.
[3]World Wide Web Consortium(W3C).XML Schema.http://www.w3c.org/TR/xmlschema-2,2001.
[4]Abiteboul S,Buneman,P,and Suciu D.Data on the Web:From Relations to Semistructured Data and XML.Morgan Kauf-mann Publishers,2000.
代数研究 篇5
摘要：随着我国经济的发展和国际关系的日益紧密，特别是我国近几年来教育改革的兴起，线性代数的学习被越来越多的人重视，在人的一生中作为学生的时光是最为重要的一段时光，在这段时期中学生们所需要学习的内容不断的变得
更加丰富，并且随着年级的增长，其难度也随之变得更难，并且所有的学生都要面对着不断考试的压力，所以在学生时期中教师如何去进行授课，如何让学生更好的去进行学习，有效的减少学生的压力，用最有效的教学方式来让学生进行学习就成为了线性代数中最为重要的一个问题。而线性代数作为最为重要的一个学科，其教学方法也得到了教师们的重视，特别是在我国进行新课程的改革之后，本文主要的研究问题就是针对新课程背景下以学生为中心的线性代数课堂教学有效性研究。
关键词：以学生为中心；线性代数；教学研究
中图分类号： O151 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）14-125-2
0 引言
线性代数作为在目前的教学中的一门基础学科，同时也是最为重要的一门学科之一，在随着学生学习的不断深入的过程中，教学课程的难度也随之进行不断的增加，解题的困难性也已经成为了目前学生最为烦躁和难以解决的问题之一。然而在实行新课改以学生作为教学中心的今天，想要更好的激发学生学习的积极性，更好的让学生去理解线性代数，更好的去培养学生们对于线性代数的兴趣，就需要教师们去寻找一个新的有效的课堂学习方法。在以学生作为教学中心的新课程的背景下线性代数教师在进行课堂教学的过程中主要存在的问题
1.1 在进行设计的过程中存在问题
所谓教师在进行教学设计的过程中出现问题，其主要指的就是教师所指定的教学目标和教师在实际工作的时候相脱节。很多教师其自身的教学目标并不清楚，特别是在新课程改革之后，我国对于教学目标的设定更为宽松和开发，但是这种设定的目的是为了帮助教师更好的去进行教学工作，同时也要求了教师需要在设定完教学目标之后一定要做到，并且在课堂教学中要做到知识和能力、教学过程和教学方面以及教学中的情感、态度等都需要有所表现。而在我国的最新数学课标中也提到说：在进行线性代数课标的设计的时候，其最重要的就是需要根据数学这一学科本身的特点，线性代数自身的特点以及国际上数学课程的发展来进行设定，并且需要打破我国固有的数学教学的方式，让教师和学生之间的互动更多。但是现在有很多的线性代数教师在进行教学的过程中还是按照我国固有的教学方式去进行，没有和学生之间进行互动，而是一味进行单方面的授课。增强学生与教师之间的互动从本质上来讲这就是一个最基本的以学生来作为教学中心的行为，但是目前来看很多教师都没有做到这一点。
1.2 教学行为存在的问题
所谓教学行为出现问题，其主要指的就是在教学的过程中出现预想和实际不符的问题。随着我国对教育进行了相关的改革，我国教师和学生之间的角色也出现了变化。在新课标中明确的要求了需要将学生变成教育的主体，而教师则是为了辅助学生进行自我学习，培养学生的学习能力，但是在进行线性代数课堂的时候，很多教师依旧没有办法放下自己身为教师的身份，依旧把教师当成教学的主体，而忽视了如何让学生进行自我学习，这也就出现了在教学的过程中预想和实际不符。即使在各种教育会议中不断的强调需要把学生作为教学的主体，但是很多情况下教师选择了忽视，依旧把教师作为教学的主体，这就导致了教师在教学的过程中出现了教学行为的问题。
1.3 反思行为存在的问题
正所谓吾日三省吾身，特别是作为一个教师，最重要的就是在上完课对自己这一节课进行反思和总结，特别是在进行新课改之后，很多学校都要求教师需要根据教师自己在上一节课的状态进行反思，并且把教学反思变成了教师在业绩考核的时候一项具体的要求。但是通过调查可以发现，现在有很多教师的教学反思都是为了应付学校而不是真正的去进行反思，或者教师在进行反思的过程中，其反思的角度相对于较单一，而且在反思之后也没有付诸实践。教师在进行教学反思的过程中，最重要的就是反思自己在进行教学的过程中，是否有把学生来作为教学的主体，认真的以学生为中心进行授课，真正的起到一个辅助学生进行自我学习的作用。
新课程背景下线性代数教师在课堂教学行为上的改进策略
2.1 坚定以学生为本的教学理念
我国的数学新课标中规定，在我国线性代数课堂中，必须要建立“以人为本”、“以健康为核心”的教育理念，这是对我国学生的负责同时也是我国教育在不断的进行革新的一个标杆，更是我国在教育理念上的一个进步，所以在线性代数课堂中要求教师必须以学生为本。只有以学生为本才能更好的帮助学生去理解所需要理解的数学知识，也只有以学生为本才能真正的融入到学生当中，了解学生的想法，以及学生在学习知识的过程中，所出现的知识漏洞。更重要的是，只有坚定以学生为本的教学理念才能够更好的去帮助学生进行自主学习，教师也才能真正的起到作用。
2.2 提高数学教师自身的专业素养
在我国的线性代数教学中，有很多的数学教师对课标的理解并不完善，这也就要求了高中的数学教师需要更加认真的去理解新课标中的内容，同时不断的提高自身的专业素养。要求线性代数教师，对于学生所需要学习的知识进行反复的学习和理解，帮助教师提高自身的专业素养，只有教师的专业素养够高才能给学生更好的课堂，才能让学生更好的去学习知识。教师的知识素养足够才能让学生更有动力去学习，于此同时，也可以帮助学生更好的去解决学生在学习的过程中，所遇到的难题，给学生一个更好的学习目标，让学生对学习更加充满动力。与此同时提高教师的专业水平，对于课程教学的提升也起到很大作用。
2.3 适当的应用多媒体进行教学
在传统的线性代数的过程中，很多时候都是教师在进行讲解，而学生被动的接受教师所讲解的内容，这种教学方式直接导致了很多学生认为数学课是一个十分无聊并且十分枯燥的课程，这些不良的情绪都会直接的导致学生不愿意去学习数学，甚至对数学失去兴趣。应用多媒体教学技术可以帮助教师更好的去控制在教学的过程中的课堂节奏和课堂气氛，对于教师来讲应用多媒体教学可以在进行讲课之前，就对第二天所要讲述的课堂的内容进行设计，让整个课堂更加有层次，更加有结构，同时也可以帮助学生更好的将所有的知识点进行串联。不仅如此，应用多媒体技术进行教学还可以帮助教师留下更多的时间来观察学生，而且多媒体技术可以更好的吸引学生的注意力，有效的提高数学课堂的课堂效率。
总结
根据以上讨论可以知道，在以学生作为教学主体的今天需要教师鉴定以学生作为教学的主体，努力提高自身的知识素养，并且适当的应用多媒体来进行教学。
参考文献
代数研究 篇6
[关键词] 初中数学；有理数加法；教材比较
基础教育课程教材改革是实施素质教育的核心环节. 课程教材集中体现了国家的教育思想和教育观念，是学校组织学生活动的最主要的依据. 它制约着学校教育的活动方式，影响着学生的身心发展. 综观中外的教育改革，无不把课程教材改革放到突出位置. 近年来，世界许多国家特别是一些发达国家无论是反思本国教育的弊病，还是对教育提出新的目标和要求，都是从课程教材改革入手. 通过改革，调整人才培养目标，改变人才培养模式，提高人才培养质量.
目前，按新课程标准编写的教材，已经出现了多个版本. 教科书是知识的载体，伴随着新课标的到来，初中数学教科书也发生了较大的改变. 无论是教材的编写者还是广大的一线教师，都需要加强对数学教材的研究. 因为，数学教师能否有效地利用数学教材，充分发挥教材在教学中的作用，是其能否保证教学质量的重要方面. 加强对新旧教材的研究，以便创造性地使用教材，是每个一线教师的应尽之责.
研究设计
1. 研究对象
本研究比较的对象为华东师范大学出版社2003年出版的七年级上册数学教科书、北京师范大学出版社2008年及2012年出版的七年级上册数学教科书中的“有理数的加法”这节的内容. 比较的具体内容见表1.
结论1：这三个版本均安排了2课时内容讲解“有理数的加法”，且第1课时均为分析、归纳出有理数加法法则，第2课时均为有理数加法运算律的运用. 但北师大2008年版和2012年版教材均为一节内容，而华师大教材则为2节内容，运用有理数加法法则独立成节.
2. 研究的具体问题
有理数的加法法则是有理数运算的重要法则，三种版本各有哪些栏目？三个版本教科书是如何引入有理数加法法则的？有哪些类型的习题？各种类型习题的数量、比例、探究范围如何？
3. 研究的方法
基于华师大版和北师大版教科书的文本材料，以内容分析法和比较研究为主要研究方法.
研究结果
新课标对本节内容的要求是：理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题.
1. 三种版本教材栏目分析（表2）
结论2：华师大版教材和北师大版教材栏目存在很大的差异. 华师大版通过“试验”“探索”“概括”“注意”等栏目探究、归纳有理数加法法则，而北师大版教材则通过“想一想”“做一做”“议一议”等栏目来研究、总结出有理数加法法则. 三种版本教材每课时都有练习题，但华师大版教材的习题安排在第2课时内容之后，而北师大版教材每课时都有练习和习题. 华师大版教材习题没有再分栏目，而北师大版习题又分为4个栏目，分别为“知识技能”“数学理解”“问题解决”“联系拓广”. 可见，北师大版教材栏目更加丰富，版面及栏目设计新颖、富有启发性，且注重创设情境，激发学生的学习兴趣.
2.三种版本教材解释有理数加法法则的方式分析（表3）
结论3：这三种版本教材中均对“有理数加法法则”进行了解释. 这3种版本教材的解释可以分为两种：“运用数轴模型”和“运用现实模型”，但华师大2003年版和北师大2012年版均只有1个解释，华师大2003年版运用数轴解释，北师大2012年版运用方框图解释；北师大2008年版运用方框图和数轴两种方式解释.
北师大版教材基于有理数运算的学习重点是对法则和运算律的理解，所以为了避免因为小数、分数运算的复杂性而冲淡了学习的重点. 为了分散难点，只涉及整数的加法. 而华师大版教材探究的范围更广一些，比北师大版教材多“分数+分数”和“小数+小数”两种类型的有理数加法运算，增加了学习难度.
3. 三种版本教材课时安排及设计意图
结论4：北师大2008年版教科书从足球比赛中的净胜球数入手，使学生首先理解（+1）+（-1）=0和（-1）+（+1）=0；然后利用“正负抵消”的思想，讨论整数加法的几种情形，并借助数轴加深理解；最后再由特例归纳出有理数的加法法则. 利用方框图形象地表示有理数加法的意义，便于学生总结运算法则. （如果学生对净胜球数不了解的话，教师可以创设其他的情境）
北师大2012年版教材本节安排了2课时. 第1课时借助“竞赛得分”和“框图”的情境使学生理解算理（目的：①使学生首先理解（+1）+（-1）=0和（-1）+（+1）=0；然后利用“正负抵消”的思想，讨论整数加法的几种情形；最后再由特例归纳出有理数的加法法则. ②运用方框图中的“正负抵消”的方式表示加法运算过程，形象直观，学生容易接受和理解）. 通过对两个有理数相加可能出现的不同情况进行分类，探索和归纳有理数的加法法则. 第2课时在学生能熟练进行整数加法运算的基础上，探索和归纳数系扩张后的运算律. 运用方框中的“正负抵消”的方式表示运算过程，形象直观，学生容易接受和理解. 虽然4个算式中的运算对象都是整数，但可以将方法和规律迁移到分数运算中. 教学过程中，可以结合比赛的情境设置算式，如“小明答错4题，答对2题，他得到多少分？用怎样的算式表示？你是怎样计算结果的？”……给学生思考算法的时间和主动表述的机会. 通过方框图中“正负抵消”的计算结果，观察和的符号及其绝对值的关系，鼓励学生用自己的语言叙述，培养学生分类、归纳、概括的能力.
4. 三种版本教材中习题总量的分析（表4）
结论5：华师大版教材中习题总量最多，“习题”所占习题总量比重最少，不到一半，“练习题”大约占习题总量的五分之二；北师大2008年和2012年版教材习题总量相当，例题、练习题、习题比例基本一致，北师大版教材中“习题”所占比重最大，约为习题总量的70%，数量是华师大版教材“习题”数量的1.4倍. 且从具体习题内容来说，北师大版选材源于自然、社会，贴近学生的生活，注重联系实际应用.
5. 三种版本教材习题类型数量、所占比例分析（表5）
结论6：三种版本只有华师大版教材中有“法则的识记”和“绝对值、相反数”类习题，分别占习题总量的7.5%和3.8%，华师大版教材“利用法则进行计算”类的习题所占比例最重，占习题总量的一半以上，却没有“解释法则”的习题；北师大2008年版和2012年版教材各类习题比例基本一致，“利用加法交换律、结合律”类的习题均比华师大版教材所占比例多一些.
研究结果
1. 注重对“有理数加法法则”的解释是教材所秉持的基本理念
三种版本的教材都通过各种方式与角度阐明了“有理数加法法则”的合理性，华师大2003年版和北师大2008年版教材都呈现了2个解释，北师大2012年版教材呈现了1个解释. 呈现多个解释的目的是为了让具有不同认知特点的学生更好地理解法则的合理性.
2. 各版本教材解释法则的目的各有侧重
从对习题的研究发现，华师大版教材中没有编排“解释方式”应用的习题，这些教材解释法则的主要目的在于让学生理解法则并能在练习中熟练应用法则；而北师大2个版本教材中均编排了“解释方式”应用的习题，它们对于法则的解释除了上述目标外，还注重利用对法则的解释方式作为思维的工具去解决问题.
如果教材中没有编排“解释方式”应用的习题，学生只要熟练记忆法则本身，就可以顺利完成教材中的习题，教学中不涉及法则合理性的解释，似乎对学生的学习不会产生什么影响. 但从长远来说，这样做会影响学生对教材深层次内容的理解和应用，同时不利于培养学生的创新意识和实践能力. 教材应该同时关注“过程性目标”与“结果性目标”，在设计求解方法的教学内容时，应当关注对通性通法内涵与价值的介绍，而不应当舍本求末，过于关注特定的技巧.
教材编写及教学建议
1. 数学教材及教学一定要说理
对“有理数加法法则”合理性的解释是培养学生理性精神的良好载体，我们在教材编写及教学中应充分利用这一载体.
2. 数学教材及教学要设置“解释方式”应用的习题
数学教材及教学要设置“解释方式”应用的习题. 如北师大2008年版及2012年版教材习题中均有1题：“教科书中为加法运算提供了实际背景，你能设计一种新的情境来表示加法算式（-4）+3吗？”
3. 数学教材栏目设置
（1）版面及栏目设计应该更丰富些，应该新颖、富有启发性，导入应设置与现实生活十分贴近、有趣味的例子和与此相关的历史文化知识，帮助学生理解本节内容，拓展学生的知识面.
（2）在举例子的时候，例子要图文并茂、生动形象，并让学生自己多动手体验，便于学生通过例子来理解其中的核心内容.
（3）习题编写要少而精，练习与例题应联系紧凑，且相互穿插，习题涉及的面要覆盖本节课的重点，让习题真正起到评价学生，考察学习状况的目的.
（4）选材应源于自然、社会，贴近学生的生活，注重联系实际应用.
4. 数学教材应注意知识内容的衔接
北师大2012版应该沿用2008版对有理数加法法则的解释，增加用“数轴模型”的解释方式，这样既与前面所学的数轴前后衔接，可加深学生利用数轴解决问题的认识和理解，又拓展了学生对有理数加法法则理解的知识面，同时也利于学生构建知识网.
5. 教学建议
（1）备课：备课时多参考不同版本的教材，取其精华，再从学生实际出发，下足功夫，必定能备出好课来.
（2）课堂导入：《课标（2011版）》指出，义务教育阶段数学课程标准的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的本质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程. 用学生的眼光审视教材的教学策略，引入情境应更贴近学生个人生活，利用一些生动形象的例子，也可借助游戏模型，让数学学习贴近生活，调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣，更好地理解学习内容.
（3）授课过程：
①要强调学生的“学”与教师的“教”相结合；敢于“创新与整合”教材，改进课堂教学.
②应注重自主探究活动学习，通过做、反思、交流、讨论去构建知识.
③对于定理、法则应做原理性的说明或证明，要加强学生对其的理解，不能只局限于会代公式.
线性代数中矩阵的应用研究 篇7
1 矩阵在量纲化分析法中的应用
大部分物理量均有量纲, 其主要分为两种, 即基本量纲与导出量纲, 其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M, 其他量均为导出量。基于量纲一致这一原则, 等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组, 经矩阵变换来解决各量之间所存关系。比如勾股定理证明, 假设某RT△斜边长是c, 两直角边长各为a和b, 在此如果选△面积s, 斜边c, 两锐角a和β为需研究变量, 则必定有以下关系, 即, 该公式中所存量纲有四个, 其中有三个为基本量纲, 则必然有一个量为无量纲, 把上述量纲列成为矩阵, 所获矩阵图形如, 其中每一列表示一个变量量纲数据。基于该矩阵, 所获解线性方程为, 综合上述方程可得解, 即x11为2, x21为0, x31为0, 因此, 可得关系式, 该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量, 从该公式可知RT△面积和斜边c平方之间成比例。
在此, 于该三角形斜边做一高, 把其划分为两个形似三角形, 其面积各为s1与s2, 此时, 原RT△的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。通过上述内容可知所获原理和结论相似, 则有s1=λa2与s2=λb2, 因s1+s2=s, 对此, 基于此, 可证明勾股定理, 即为。由于量纲分析在运算上所涉及到的内容仅有代数, 对此, 若进行的试验十分昂贵, 一般在实验前, 人们倾向于事先在不同的假设下构建若干的相似模型, 接着择优选择来进行实验。从侧面上来讲, 这种方法对于部分常数还起到一定的压缩或者恢复的作用。
2 矩阵在生产总值和城乡人口流动分析中的应用
2.1 生产总值
假设某城市在经济发展过程中, 煤矿企业、地方铁路以及发电厂为其重要企业, 在开采1块钱的煤时, 煤矿所需支付的运输费为0.25元;生产1块钱的电力时, 发电厂所支付的煤作燃料费用为0.65元, 其自身需支付大约0.05元电费和0.05元运输费。若运输费为1块钱, 铁路所支付的煤作燃料费用为0.55元, 同时支付0.10元电费来驱动其辅助设备。在某一周内, 该煤矿企业接收到50000元煤订货, 发电厂接收到25000元电力订货, 对于地方铁路, 社会外界无要求, 基于此试问上述三个企业在这周内其生产总值为多少才可满足自身需求以及外界需求。针对上述内容, 在此将x1作为煤矿总产值, x2作为电厂总产值, x3作为铁路总产值, 基于题意获得, 将其列为矩阵形式, 即, 在此利用X来表示, C表示, d表示, 则得公式X-CX=d, 经转换可得 (1-C) X=d, 通过所转换这一公式的分析发现该方程组存有唯一解, 经计算, 煤矿企业总产值是102087元, 铁路企业总产值是28330元, 发电厂企业总产值是56163元。
2.2 城乡的人口流动
对某省城乡人口流动情况实施年度调查, 经调查发现该省每一年大约有1/5的农民居民向城镇移居, 有1/10的城镇居民向流入至农村, 假设城乡的总人口不变, 这种人口流动趋势持续下去, 则该省城镇农村人口在分布上是否可保持稳定。经上文内容的阐述, 在此假设该省城乡总人口数量是m, 调查过程中城镇人口是xo, 而农村人口是yo, 则一年后该省城镇人口与农村人口分别为x1=90%xo+20%yo、y1=10%xo+80%y0, 将其列成为矩阵形式, 即, 在此基础上, 列出两年后和n年后的矩阵形式, 即, 将上述公式进行对角化以后实施解答方程, 经过长时间的解答, 所获解就会达到极限值, 即, 通过这一极限值的分析可知, 当该省城乡总人口保持不变时, 其城镇人口分布和农村人口分布总体处在稳定的状态中。
3 结语
综上所述, 经线性代数中矩阵在不同领域中应用案例的分析可知, 矩阵所具潜能非常的大, 伴随着信息技术水平的提高, 网络技术的进步, 矩阵的应用也会更加深入。由于各学科间、各行业之间的交叉变得越来越频繁, 且界限也变得越来越模糊, 在这种形势下, 数学这门学科所具基础性也更为明显, 对此, 在学科研究与行业研究中融入数学, 不仅可使研究更加具有说服力, 同时还可使研究变得更为简洁, 获得更为合理且科学的研究成果。
参考文献
[1]侯祥林, 张宁, 徐厚生, 等.基于动态设计变量优化方法的代数黎卡提方程算法与应用[J].沈阳建筑大学学报:自然科学版, 2010, 26 (3) :609-612.
[2]黄玉梅, 彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报:自然科学版, 2009, 45 (Z1) :123-125.
[3]殷婷, 王杰.多机系统Hamilton实现的Hessian矩阵正定判定与应用[J].电力系统保护与控制, 2013 (23) :16-22.
线性代数教学研究与探讨 篇8
1 强调《线性代数》的重要性, 激发学生的学习兴趣
俗话说, 兴趣是最好的老师。在第一堂课上, 就向学生介绍开设此课的目的和意义, 激发他们的学习兴趣。作为一名工科院校的大学生, 《线性代数》这门课不仅能培养他们的创造性思维, 而且还能培养他们的逻辑推理能力, 它是在以后工作中不可缺少的重要工具之一。《工程技术常用数学》的作者F.S.Merritt在该书的序言中谈到:“为了有效地使用最新的高级计算机, 工程技术人员必须熟悉有关的数学方法……为了提高专业水平, 工程技术人员必须在数学上继续进修。”随着计算机技术的飞速发展, 有些非线性问题高精度的线性化与大型问题的可计算性正在逐步实现, 因此, 线性问题的重要性显得日益突出, 线性代数正受到工作着的特别重视。我们可用矩阵知识破译密码, 预测动物繁殖, 计算交通流量, 求解投入产出问题, 用向量的定义、计算及多步决策理论解决怎样安全过河问题等等, 以此来激发学生对《线性代数》学习的热情, 提高学生的学习兴趣。
2 深入研究教材, 合理安排教学, 突出教学重点
目前, 大部分工科院校使用的是同济大学编写的《线性代数》教材, 本教材在结构安排上, 以二阶、三阶线性方程组为基石, 线性方程组为主线, 矩阵的初等变换为基本方法贯穿于整个教材之中, 突出了线性方程组、初等变换及矩阵秩的地位和作用, 分解了向量组的线性相关性的难点。但是对于学生来说, 在这方面的基础差, 因学时少, 习题没有时间讲解, 学生在课堂上学到的只是罗列在一起的定理, 很难消化。因此学生在学习时普遍感到有难度, 教学效果往往不理想。在教学时要深入研究教材, 合理安排教学内容, 突出教学重点。
在不影响教学大纲基本要求, 不降低教学质量的前提下, 对教材内容的适当增减, 便于突出重点, 降低难度。如第一章行列式中, 按排列定义的行列式较抽象, 在计算行列式时很少用到此定义, 让刚接触线性代数的学生难以理解, 可降低难度, 用子式来定义行列式, 或将行列式一章放到矩阵和方程组之后讲解, 由方阵引用行列式。又如为了降低向量组之间的等价、相互表示及向量组的秩的难度, 应在线性方程组的解中增加矩阵方程组解的讨论, 这样可用到这些结论容易解决向量组等价中很难理解的结论。此外为了更直观理解线性代数中的一些概念及定理, 将空间解析几何引用到线性代数中, 化解学习一般向量时的难度。
3 利用《线性代数》实验, 解决计算问题
《线性代数》的教学不仅要求学生理解掌握概念及定理, 还要熟练掌握一些基本计算, 如行列式的计算, 矩阵的运算, 求极大无关组, 解线性方程组, 求矩阵的特征值、特征向量, 将矩阵对角化, 把二次型化为标准形等等。开设线性代数实验课, 学习用数学软件Matlab解线性代数的计算问题。如学习一个定理之前, 利用Matlab软件进行演示, 让学生观察、归纳、发现定理, 再对定理进行证明。“互换行列式的两行 (列) , 行列式变号”, 在讲这个性质时, 先用Matlab讲解, 让学生随意改变行列式的两行, 软件会逐步显示结论, 这样不仅传授知识, 还培养了学生利用数学软件解决问题的兴趣。
初中学生代数能力表现水平的研究 篇9
关键词：教学质量,代数能力,表现水平,随机抽样
中学生数学能力的表现水平如何, 一直是我们研究的问题。因为我们不清楚如何改革数学课堂教学对提升学生的数学能力更有效, 影响学生的数学能力表现水平的因素是课程、教材还是教师的课堂教学策略。笔者以广西壮族自治区柳州市2015年中考数学试题中第20题 (数与代数) 和第22题 (统计与概率) 作为这方面问题的研究, 希望能引起同行对课堂教学的核心价值的关注, 并为课堂教学改革提供一些参考。
一、研究内容与方法
(一) 研究内容
本项目研究的内容是初三应届毕业学生具备的代数能力水平。以柳州市2015年中考数学试题中第20题 (数与代数) 和第22题 (统计与概率) 为内容载体。
20. (本题满分6分) 如图, 小黄和小陈观察蜗牛爬行。蜗牛在以A点为起点沿直线匀速爬向B点的过程中, 到达C点时用了6分钟。那么还需要多长时间才能到达B点?
22. (本题满分8分) 如图, 这是某校初三年级同学们最喜爱的一项课外运动调查结果扇形图, 但是负责画此图的同学忘记了最喜爱篮球运动的人数。 (1) 请你求出图中的x值; (2) 如果该年级最喜爱跳绳运动的同学有144人, 那么这个年级共有多少人?
笔者之所以选择柳州市2015年中考数学试题中第20题 (数与代数) 和第22题 (统计与概率) 作为研究内容载体, 一是因为这两道题具有非常典型的不同代数能力水平表现的判断可能, 二是因为这两道题能很好地代表本学段代数的核心素养和能力要求。
(二) 代数能力表现水平的界定
在这两道题上, 学生的答题表现有以下四种情况:
一是不作答, 我们把这种表现水平叫无应答, 或叫无反应, 记为一级水平。一级水平的现实意义是, 学生可能不具备小学及以上的数学与代数能力表现水平或其他不明原因导致不作答。
二是作答但不正确, 我们把这种表现水平称之为错误反应, 记为二级水平。二级水平的现实意义是, 学生学习了相关数学知识, 并试图利用所学习的数学知识对问题进行解决, 但是对问题理解错误、对问题解决所需要的知识选择错误、对问题解决策略选择错误、对问题解决 (逻辑分析、数学建模与运算) 表述错误等。
三是作答正确, 但是使用以算术法为主的非代数方法作答, 我们把这种表现水平称之为低水平反应, 记为三级水平。三级水平的现实意义是, 学生对数学问题的解决所需要的知识、算法、表达 (逻辑) 只停留在小学水平。
四是作答正确, 且使用的是代数方法, 如方程等进行作答, 并表现出学段所应该具有的代数核心素养与能力, 我们把这种反应称之为正常反应, 记为四级水平。四级水平的现实意义是, 学生经过三年初中数学课程学习后的正常代数能力水平的表现, 是初中毕业生所应具有的表现水平, 也是具备进入高中阶段学习的基础之一。
(三) 研究方法
本研究采用中考改卷现场电脑随机抽样调查法进行。由于研究的焦点是为了区分学生的不同代数能力表现水平, 而不是考查学生卷面考试成绩, 因此笔者采用抽样调查的方法对研究对象总体进行抽样, 并根据抽样得到的样本进行代数能力表现水平分类统计并分析, 最后形成研究结论。
(四) 研究对象
本研究的对象是柳州市2015年初三应届毕业学生。研究对象共35 862人, 由系统从中随机抽取1130份 (人) 作为本项目的研究样本。在这些样本中, 第20题有效样本1130份 (人) , 第22题有效样本1040份 (人) 。
二、数据统计与分析
(一) 数据的统计处理
对数据进行分类统计后分别有以下发现。
对于第20题, 一级水平的人数有70份 (人) , 占样本容量总数的6.19%;二级水平有80份 (人) , 占样本容量总数的7.08%;三级水平有740份 (人) , 占样本容量总数的65.49%;四级水平有240份 (人) , 占样本容量总数的21.24%。
对于第22题, 一级水平的人数有110份 (人) , 占样本容量总数的10.58%;二级水平的人数有230份 (人) , 点样本容量总数的22.12%;三级水平的人数有580份 (人) , 占样本容量总数的55.77%;四级水平的人数有120份 (人) , 占样本容量总数的11.53%。
笔者利用IRT理论 (现代教育测量理论) 的项目分析软件对这两道题进行分析发现, 它们都具有很好的区分度和项目拟合度, 其中第20题的区分度为0.70, 第22题的区分度为0.84, 它们的特征曲线说明了它们的拟合水平, 如图1、图2所示, 也就是说它们能很好地考查学生在代数能力方面的表现水平。
(二) 数据结果的分析
从学生答题结果的数据统计来看, 有55%~65%的学生属于三级水平, 即属于小学六年级及以下的代数能力表现水平, 只有10%~20%的学生处于四级正常的初中代数能力的表现水平, 另外还有13%~33%的学生甚至还没有达到小学的代数能力表现水平。
在这里, 需要说明的是, 研究对象的抽样是采取全域 (全市六区六县) 随机抽样, 并没有特定针对城乡不同区域的分层抽样, 因此这个结论只适用于全域的评价, 而不适用于特定对象如市区、县域和乡镇等的评价。
三、结论分析与讨论
(一) 结论的现实意义
从以上数据分析中得出这样的结论:有60%左右的初三学生代数能力表现为三级水平, 有不到20%的初三学生代数能力表现为四级水平, 有将近20%的初三学生代数能力表现水平没有达到小学代数能力表现水平。这个结论意味着有60%左右的初三学生虽然经过近三年的数学知识学习及其相应的数学能力培养期, 但是他们的数学能力表现水平仍然只停留在小学的数学能力表现水平上, 没有形成初中学生所应该具有的数学思想、数学方法和数学技能, 或至少他们没能表现出与所在学段相匹配的数学能力表现水平, 换句话说, 三年的初中数学教育对学生的数学能力表现水平的影响并不是很大。
在得到数据统计结果后, 笔者又对学生进行随机现场测试, 并明确指出:“请用你认为最能代表你数学水平的方法完成这两道题 (无时间限制) 。”结果仍然没有太大的改观, 这更证实了这一结果代表了客观存在的事实。
(二) 对问题成因的讨论
1. 教师和学生的因素
笔者在教学现场观察中发现, 教师演示自己的问题解决过程时基本上都是用PPT之类的手段进行展示, 很少像传统教学那样动手演算和推理展示整个解题过程。笔者还发现, 在平时的教学过程中, “你的答案是多少”“你的答案对了吗”之类是教师了解学生解决问题程度的主要方式, 关心的是答案的对错, 而不是关心问题的解决过程, 如“你是用什么方法解决的”“你是怎么解的”。在考试复习阶段, 有的教师要求学生“你只要做对就行”, 而不是“用最能代表你的数学水平的方法来做题”。
在调研中经常听到有学生问“老师, 用算术法不是很简单吗?为什么一定要用方程来解呢”之类的问题。学生潜意识里留恋于以往的表现形式, 这是自然惰性心理, 如果没有外部的作用, 这种表现将很难得到改变。因此教师强调运用新习得的知识和方法解决问题很重要, 并要形成习惯, 这才是学习进步的表现。
2. 数学教育所追求的目标
课程标准已经规定了要教什么, 要教到什么程度。但是在课堂教学现场观察中我们也发现, 并不是所有教师都清楚每节课的教学目标, 从长远的课程目标来考察, 有些教师因为学生的原因而改变了教学目标要求, 这样的要求对学生的能力表现水平有多大的影响呢?这应该值得我们去研究。
3. 准确把握教学质量的监测
代数研究 篇10
计算机仿真是科学研究和工程技术应用领域的重要工具。在组织演化[1]、产品设计[2]、物流[3]、交通[4]、军事[5]等多种研究中, 计算机仿真都是分析、设计和验证系统设计的重要技术手段。计算机仿真通过编写计算机程序的方法, 对系统及其所在环境的运行逻辑和设置变量进行模拟, 预先设定指标, 对系统行为进行分析评价, 作为系统设计、系统行为预测等决策的依据。
计算机仿真有多种分类方式[6]。根据仿真时钟与现实时钟的关系可分为实时仿真、亚实时仿真和超实时仿真;根据建立的仿真模型的特性, 可分为离散系统仿真和连续系统仿真。
无论是哪一种仿真, 通常仿真的第一步是建立仿真模型。现讨论如何自动产生仿真模型, 从而提高应用计算机仿真方法的效率。
1 仿真模型自动生成的意义
1.1 短时内对同一系统不同运行逻辑进行多次仿真
在常见的计算机仿真技术中, 虽然可以通过调整参数调整模型行为, 但是通常一个系统模型对应一种系统运行的逻辑关系。如需对系统的运行逻辑进行修改, 则需要重新建模, 费时费力。在时间和资源有限的情况下, 只能对少数几种系统设计方案进行建模仿真。
如对书架设计进行建模, 并生成动画仿真, 可以较方便地改变书架的层数;但是若要将收藏空间从双开门方式改为抽屉方式, 则由于运动方式不同, 需要重新建立模型。又如, 对排队系统进行仿真时, 当分别对单队多服务台、多队多服务台两种系统设置进行仿真时, 能够方便地修改服务台、队列的数量。但是, 若对两种系统设置都需要进行仿真, 则大多数情况下就需要建立两个仿真模型。
而使用仿真模型自动生成, 则可以同时生成同时对应两种情况的仿真模型, 节省了重复建立模型的时间和资源, 可以在有限的时间和资源条件下, 尽量多地对不同方案进行仿真检验, 以获得更好的系统设计方案。
1.2 即时系统仿真与决策支持
许多仿真是为了在特定的外部环境下, 测试不同系统设计的表现, 并以仿真结果为分析基础, 进一步对应采取的行为做出决策。但是, 如果外部环境不断变化, 则频繁建模消耗大量资源和费用, 甚至可能没有充足时间进行重新建模, 使得无法使用仿真分析的方法支持决策, 只能采用其他方式, 增加了分析难度。
如果使用系统模型自动生成的方式, 则可在环境变化之后的短时间内, 自动根据新的环境约束, 产生满足新约束的系统模型, 节省手工建模的时间, 为快速决策和响应奠定了基础。
2 基于系统代数的仿真模型自动生成
2.1 系统代数
系统代数 (Algebra of Systems) [7]是一种代数化的系统建模语言。它使用算元与算子两种元素描述系统。算元集合用特定的数据格式描述系统的属性、结构和运行逻辑;算子集合则包含对算元集合操作。就如算元“1”和算子“+” (加号) 的相互迭代便能描述所有自然数一样, 通过上述两种元素的相互迭代, 系统代数能够使用代数化的方法, 对满足已知约束的所有系统状态和行为的集合进行描述。
系统代数的算元集合包含三种数据结构, 属性域 (Property Domain) 、布尔域 (Boolean Domain) 和综合域 (Composition Domain) 。
其中, 属性域P使用一个标准数据结构 (哈希表, Hash Table) 编码系统的一系列属性, 并且定义了合并 (Merge) 、替换 (Substitute) 、转译 (Interp) 以及删除 (Delete) 四个算子。综合使用这四个算子和标准数据结构, 属性域P就可以同时表达目标系统的内容和操作。
布尔域B包含了系统状态是否满足某些约束的信息。系统状态由属性域P中的系统属性值表达, 约束则表达为一系列布尔表达式。在布尔域上定义了与 (And) 、或 (Or) 、否 (Negate) 以及转译 (Interp) 。
综合域C是一个二部图 (Bipartite Graph) 的数据结构。在构建系统模型的时候必须将系统抽象成为图的两类构成元素——对象 (Object) 和过程 (Process) , 分别代表了系统的数据内容和操作。这两种对象之间的关系在图中由一个有向连结表示, 并且每一个连结都与一个布林表达式相联系, 形成先、后判断条件 (Pre/Post-condition) , 表达系统对象和操作之间的逻辑关系。在综合域C上定义了图的算子, 如加 (Union) 、减 (Subtract) 等。
系统代数域 (AoS Domain) 以P、B、C三个域作为算元集合, 定义算子编码 (Encoding) 、列举 (Enumerating) 和评估 (Evaluating) , 分别完成系统元模型 (Meta-model) 定义、系统实例生成和系统实例评估的工作。
表1总结了系统代数域的算元与算子。
2.2 使用系统代数自动生成系统模型的原理
使用系统代数自动生成系统模型的过程可以分为三步, 分别对应系统代数算子集合中的三个算子。
首先将已知的系统状态、行为和约束编码 (Encode) 成为一个二部图, 使用方框代表系统状态, 用椭圆代表一个系统行为。根据已有的对系统行为的认知, 在可能产生联系的状态和行为之间用箭头联接, 代表系统在某个状态下执行某行为的可能性。并且, 根据当前已知的约束, 在若干相应的箭头上绑定若干布尔表达式, 代表发生这种变化需要满足的约束。将此模型称为系统元模型, 如图1 (a) 所示。系统元模型代表了符合当前认知、满足所有已知约束的系统所有可能设置的集合。
然后对系统元模型进行列举 (Enumerate) 操作, 从元模型的起始点 (“-I”) 出发, 根据列举操作发生时的系统状态是否满足约束的情况, 以类似Petri-net的方式, 对系统元模型进行遍历, 遍历到元模型终止点 (“-F”) 结束。遍历将可能产生多个不同的轨迹 (Trajectory) , 如图1 (b) 、 (c) 所示, 每个轨迹便是一个满足所有约束的系统模型, 称为系统的一个实例。
在进行遍历操作时, 会不断地对系统状态是否满足在箭头上的约束进行评估, 所以, 产生的系统实例都是满足已知约束的。同时, 由于每个实例都由系统元模型产生, 故每个实例都满足元模型对系统行为的定义。
值得注意的是, 每个产生的系统实例都可以作为下一次列举操作中使用的元模型。所以, 当环境或系统状态发生变化时, 可以使用原有元模型重新进行列举, 也可以在上次产生的系统实例的基础上进行列举。这种迭代的特性更有利于系统模型的持续改善和演化。
这里, 使用OPN-IDE[7] (Object-Process Network Integrated Development Environment) 作为实现上述此设计抽象过程的工具。OPN-IDE是为系统代数开发的建模环境和计算工具。用户可以在代表过程 (Process) 的椭圆中定义计算规则, 在连接箭头 (Directed Arc) 上定义布尔表达式, 称为系统的OPN模型。并且, OPN-IDE可对建立的OPN模型进行运算, 实现列举 (Enumerate) 和评估 (Evaluate) 的过程。
2.3 对系统代数及其计算工具的改进
为了使系统代数及其计算工具更加适合仿真元模型的建立、仿真模型的生成和运行, 分别对系统代数本身和它的计算工具进行了两点改进:1) 定义“Merge”算子, 2) 将OPN-IDE联接到不同仿真工具。
2.3.1 为系统代数添加“Merge”算子
对于一个较为复杂的系统建立模型, 模块化能够帮助用户按功能对复杂系统进行切分, 简化作业流程, 是建立系统模型的常用方法[8]。
在使用系统代数建立系统元模型的过程中, 模块化的方法应体现为分别为系统的不同部分分别建立OPN模型, 系统自动将不同的OPN模型组合起来, 再进行列举。系统代数、以及其计算工具都尚不支持不同OPN模型的组合操作。
针对此种情况, 在系统代数AoS域算子集中, 添加了“Merge”算子。其算元为AoS域两个实例构成的有序对〈AoS1, AoS2〉, 执行操作为1) 在AoS1的C域中, 寻找与AoS2实例同名的元素, 并用AoS2中的所有元素替代此同名元素;2) 分别将AoS2 P域和B域元素添加到AoS1的P域和B域中。
2.3.2 将OPN-IDE联接到不同仿真工具
OPN-IDE本身便可完成数值仿真。但是, 为了更好地理解仿真结果, 仿真结果的可视化是一项必要的功能。仿真结果可视化通常有两种手段:建立计算机模型, 以及使用实物模型进行模拟。
对于计算机模型, 将OPN-IDE与Autodesk公司的Maya 3D建模软件相连接, 当OPN-IDE完成对系统元模型进行列举后, 便可根据列觉结果, 自动生成多个3D模型, 并产生相应的展示动画。对于实物模型仿真, 通过蓝牙通信, OPN-IDE可在对系统元模型进行列举的同时, 向实物模型发送指令。
通过与可视化工具的无缝连接, 节省了中间转化过程, 更加提升了工作效率。同时, 也降低了对仿真实施人员的技能要求。
3 仿真实例
为了形象直观地体现自动模型生成的优势, 展示OPN-IDE与可视化工具的无缝连接, 分别对书架设计和小车送货进行仿真。
3.1 书架设计仿真
书架设计仿真需要对不同的书架设计进行建模, 并且生成运动部件运动动画, 以便检验设计效果。此书架的设计具有以下几个设计决策点:1) 是否需要储物柜;在有储物柜的情况下, 2) 储物柜放置在上方还是下方, 3) 采用抽屉方式还是双开门方式。由于布局 (有无储物柜、放置位置) 、运动方式不同 (抽屉平移和门旋转) , 需要建立多个模型。具体来说共需22+1=5个模型。现使用系统代数建立系统元模型如图2 (a) 所示, 由此元模型直接生成五个针对不同设计的书架模型, 并联接Maya仿真软件, 生成模型动画。动画截图见图2 (b) 。
3.2 简单物流系统仿真
此物流系统由小车、仓库和两个送货点构成。小车需要在仓库完成装货, 并轮流前往两个送货点送货, 一次装货只能满足一个送货点的需求。在仿真过程中, 三个地点不断变化、小车的装载状态也发生变化, 不同时间点需要对小车行为进行不同的描述。仿真中, 建立小车模型, 通过压力传感器检测小车载货状态;为每个地点分配不同颜色, 并使用颜色传感器扫描更新位置信息;使用系统代数的方法, 应对上述状态变化, 即时生成系统模型, 并通过蓝牙连接, 将产生模型的运行结果发送给小车模型, 改变小车行为, 使小车在变化的环境中做出正确的动作 (前进、后退、停止、装载、卸载) 。仿真系统元模如图3 (a) 所示;图3 (b) —图3 (c) 分别给出了在系统运行同时, 产生的仿真模型, 这些模型与系统状态相对应, 以及根据仿真模型产生的动作指令。
4 结论
通过使用系统代数的方法实现仿真模型的自动产生, 能够在短时间内同时产生多个不同运行逻辑的系统仿真模型。通过对系统代数补充“Merge”算子, 使得系统代数更加适合对较复杂系统进行建模和仿真。将系统代数计算工具与多个常用的仿真工具无缝连接, 进一步节省了实际进行仿真操作时所需资源和时间, 使应用仿真方法对系统进行分析的过程更加快速高效。同时, 也降低了对实施人员技能的要求。
在仿真分析过程中使用此方法, 能够提高效率, 降低成本。
摘要：计算机仿真在现代科学研究和工程应用中起着重要的作用, 而复杂系统模型的建立往往需要占用大量时间和资源。提出以系统代数为工具, 建立仿真系统元模型, 根据已知约束, 对不同运行逻辑的系统仿真模型自动生成并运行。对系统代数提出“Merge”算子, 使其更适合建立较复杂系统的仿真模型。并使用该方法分别对产品设计和简单物流系统进行了仿真。此方法能够快速产生多个仿真模型, 节省了对同一系统的不同运行逻辑进行重复建模的时间, 提高应用仿真方法对系统进行分析的效率。
关键词：计算机仿真,系统代数,模型建立,自动生成
参考文献
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