数学课小结的几种类型

数学课小结的几种类型（精选十篇）

数学课小结的几种类型 篇1

戏之中, 通过游戏使学生河对新知识产生浓厚的兴北趣, 注意力高度集中, 在游唐戏中学到新知识。例如教山“分数的初步认识”时, 我●设计了这样一个游戏:请叶

长

学生用手指表示每人分到兴的月饼个数。“如果有4个

月饼, 平均分给红红和佳佳, 请用手指个数表示每人分到几个月饼?”学生很快伸出2个手指。接着我又说:“现在只有1块月饼, 要平均分给红红和佳佳, 请用手指表示每人分到的月饼个数。”这时, 许多同学都难住了, 有的同学会说:“每人一半。”这时我进一步问:“你能用一个数字来表示半个月饼吗?”学生被问住了, 此时, 学习一种新的数“分数”就成了学生自身的渴望。

四、操作情境

在小学数学课堂教学中, 对一些实际问题, 可以让学生通过自己动手测量、演示、操作获得知识。例如在教“年、月、日”知识时, 让学生自己动手制作2013年的年历;教学“长方形、正方形面积”时, 让学生动手测量生活中的长方形、正方形的长宽、边长。这样, 既能巩固所学知识, 并能灵活运用, 又能提高学生的操作能力, 培养其创造精神。

初中数学课堂小结常见的几种方法 篇2

【内容摘要】近年来，随着我国新课程改革的不断推进，对课堂小结越来越重视。尤其是在一些理论概念较多的课程中，课堂小结更是发挥着至关重要的作用。虽然课堂小结已经得到了比较广泛的应用，但是在实际应用过程中仍然存在着一些问题，影响其效果的发挥。

【关键词】初中数学 课堂小结 意义 问题 方法

一、探究意义

1.为课堂教学画龙点睛，帮助学生掌握和理解数学知识

通过大量教学实践证明，在初中数学课堂上，囿于时间有限、知识点较多，非常需要在课堂结束之前进行小结。所谓小结往往是几句简短的话语，其内容主要是对该堂课所授重点知识的概括、难点知识的强调。如果能够有效地进行初中数学课堂小结，会为数学课堂起到画龙点睛的作用，也有助于学生对当堂课程重点难点知识的理解。

2.为下一堂课做铺垫，激发学生学习数学的兴趣

初中数学知识点都是一环扣一环，数学课堂亦是如此。在当堂数学课上进行课堂小结，可以较好的为下一堂课做铺垫，借助归纳和总结，引起下一节课的知识点。将下一堂课所要学习的新知识巧妙地融入到当堂课的课堂小结中，让学生感受一种意犹未尽，激发学生对数学的学习兴趣。

二、课堂小结的现状及存在的问题

1.初中数学课堂小结的现状

在实际教学过程中可以发现，现如今几乎所有的教师都会进行课堂小结，课堂小结的普及率已经比较高。但是，并非所有老师开展的课堂小结都能够收到很好的成效，受到一些主客观因素的限制，许多初中数学老师进行的课堂小结收效甚微。

2.初中数学课堂小结存在的问题

其一，课堂小结欠缺方式方法，无法吸引学生。

一些年纪稍长的教师认为课堂小结就像辩论赛中的总结陈词环节，只是简单的将本堂课所学的知识点、重难点进行简单的汇集，重述给学生即可。未能够学会和运用有效的课堂小结方法，使得课堂小结就像念课文一样枯燥无趣，自然也就无法吸引学生的注意力，难以收到预期效果。

其二，课堂小结内容选择不合理，无法承上启下。

这种情况主要出现在一些教学经验不足的新进教师身上，由于对初中数学整体课程的知识点、重难点把握不够准确，未能够站在全局的角度看待课堂小结，使得课堂小结的内容只是片面的进行概括和归纳，无法很好地承上启下。

三、初中数学教学中课堂小结常见的几种方法

1.归纳法

归纳法是初中数学教学课堂上比较常见的一种小结方式，这种方式需要的时间比较短，往往只需要课堂即将结束的短短几分钟即可，教师需要在这几分钟的时间内快速而精简的将本堂课主要内容、数学思想及方法、重点实施进行汇总，借助语言、图形、表格等简单明了的方式让学生在短时间内明确重点，对整堂课有比较明细的印象。该方法的主要优点是能够比较系统、完整的对知识进行归纳并且不会赘述，可以将数学课堂上的中心内容、重点难点简单明了的凸现出来。

例如，在学习《三角形全等条件》时，老师可以运用归纳法进行课堂小结。即在课堂结束之前几分钟将三角形全等的条件在黑板上列出，首先让学生对三角形全等所需条件有一个系统性的了解，接着让学生在列出的条件中做出挑选，选出能够证明三角形全等的条件。通过这种系统性的归纳方式，让学生能够对知识点一目了然，提高学生证明三角形全等的数学能力。

2.延伸法

延伸法也叫作拓展延伸法，它是初中数学课堂小结必不可少的方法。主要是通过对课堂知识的延伸和拓展，起到发散学生思维、提升学生动脑能力的目的。众所周知，在初中数学教学中，问题是教学的关键所在，一方面，问题能够激起学生的求知欲，另一方面，问题还能拓展学生思维的宽度与深度。因此，教师可以从问题出发，在小结时运用延伸法对内容进行总结。

例如，在学习《认识三角形》时，老师可在小结时提出问题，以问题引出小结。教师问：“同学们，咱们这堂课学习了什么内容呢？大家对三角形的哪些知识有了初步了解？”同学们回答到：“咱们今天学习的内容是三角形的有关知识，通过学习我们了解到三角形有三条边、三个内角、三个顶点，可以用△ABC表示。”如此继续下去，教师根据学生的回答对问题内容、深度进行调整，在不知不觉中完成课堂小结。

3.比较法

比较法使用的范围比较广泛，不仅可以将新旧知识点进行对比，而且还可以将相近知识点进行对比。使用比较法的知识点应当比较简洁易与概括，方便找出它们的异同，才能在小结时发挥较好的效果。

例如，在学习《菱形的性质及判定》时，学生往往很容易将菱形和矩形的概念混淆在一起。教师针对这一易错点，可以在课堂小结时将菱形与矩形的判定方法分别列在黑板上，让学生进行比较，加深记忆。

四、结语

总而言之，初中数学教学中课堂小结有着十分重要的实践意义。要想做好课堂小结，一方面要努力提升课堂小结的理论知识，另一方面还应当在实际教学过程中不断反思、归纳，方能取得良好效果。

【参考文献】

数学课小结的几种类型 篇3

关键词：初中数学；方程型综合题；函数型综合题；方程与函数型综合题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）21-0062-03

方程与函数综合题是历年中考的必考内容，它主要是围绕着方程和函数展开的，可分为三大类型：方程型综合题、函数型综合题、方程与函数型综合题。

解方程与函数综合题，第一要掌握好数和式这些知识体系，它们是方程和函数的构成基础；第二要掌握好方程的各种解法和相关定理，掌握好函数的概念及其各种性质，掌握好方程和函数间的各种联系；第三要会适时恰当地运用方程与函数思想、转化思想、分类思想，灵活运用配方、消元、代换、待定系数法等基本方法。当然，解方程与函数综合题，还要求我们有较强的分析问题和解决问题的能力，善于把综合性的问题转化为若干个基本问题来解决。下面我们逐一分析这三大类型：

一、方程型综合题

方程型综合题主要是以一元二次方程为主线，直接利用二次方程根的定义、方程的解法、根的判别式、根与系数的关系、不等式等有关知识来解决问题。

例1.设x1、x2是关于x的方程x2+4kx+3=0的两个实数根，y1、y2是关于y的方程y2-k2y+p=0的两个实数根。若x1-y1=2，x2-y2=2，求k和p的值.

分析：由根与系数的关系及已知，可建立关于k的二次方程，再利用根的判别式即可确定k的值，从而进一步求出p的值。

解：由已知得x1+x2=-4k，x1·x2=3，Δ1=16k2-4×3≥0；

y1+y2=k2， y1·y2=p，Δ2=k4-4p≥0.

∵x1-y1=2，x2-y2=2，

∴（x1+x2）-（y1+y2）=4，

即k2+4k+4=0，解之得k1=k2=-2.

当k=-2时，Δ1>0，故k=-2.

由y1·y2=p=（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=3+8k+4=-9，

∵当k=-2，p=-9时，满足Δ2=k4-4p≥0，

故k=-2，p=-9.

说明：本题的关键是利用根与系数的关系构造方程，再结合根的判别式确定k，p的值。

练习：已知：关于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0只有整数根，且关于y的一元二次方程 （k-1）y2-3y+m=0有两个实数根y1和y2.

求：（1）当k为整数时，确定k的值；

（2）在（1）的条件下，若m>-2，用关于m的代数式表示y12+y22.

二、函数型综合题

例2如图所示，已知反比例函数y=■的图象经过点A（-■，b），过点A作AB⊥OX于点B，△AOB的面积为■.

（1）求k和b的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x相交于点M，求AO：AM；

（3）如果以AM为一边的正三角形AMP的顶点P在二次函数y=-x2+■mx+m-9的图象上，求m的值.

分析：⑴由S△AOB=■k且b>0可求得k、b的值；（2）由直线y=ax+1过点A可求出a的值，从而得到M点的坐标，再由勾股定理求得AO与AM的值；（3）在Rt△ABM中，由AB与AM的值可求得∠BMA=30°，再分类讨论点P位置的两种情况，再由点P在抛物线上，得到M的值。

解：（1）由点A在第二象限，得b>0.又AB⊥OX于B，S△AOB=■，∴■-■b=■，∴b=2，∴A点坐标为（-■，2）.

由反比例函数y=■的图象过点A，得2=■，∴k=-2■.

（2）∵一次函数y=ax+1的图象经过点A（-■，2），

∴2=a（-■）+1，∴a=-■.

∴一次函数的解析式为y=--■x+1.令y=0，可求得M点的坐标为（■，0）.

在Rt△ABO中，

AO=■=■=■，

在Rt△ABM中，BM=BO+OM=2■，

∴AM=■=■=4.

∴AO：AM=■：4.

（3）由（2）得，Rt△ABM中，∵AB=2，AM=4，∴∠BMA=30°∵点A在第二象限，M在x轴的正半轴上，且∠AMB=30°，∠AMP=60°，∴点P的位置有两种情况：①点P在第一象限，∵∠BMA=30°，∠AMP=60°，∴∠PMB=900，∴点P的坐标为（■，4）.由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上，得m=4；②点P在第三象限，可求得点P的坐标为（-■，-2）.由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上，得m=-5.综上所述，m=4或m=-5.

说明：此题易错处是考虑不周，第⑶问没有分类讨论，做此类题应多加注意。

练习：如图所示，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-3，0）、（0，3）.

（1）一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，若△PAB和△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式.

（2）二次函数的图象经过点A、B，其顶点C在x轴上方且在直线PQ上，求这个二次函数的解析式.

（3）若使⑵中所确定的抛物线的开口方向不变，顶点C在直线PQ上运动，当点C运动到C′时，抛物线在x轴上截得的线段长为6，求点C′的坐标。

三、方程与函数的综合题

这类问题主要是沟通了二次方程与二次函数之间的内在联系，解题的关键是抓住二次方程的有关理论与二次函数的有关性质，借助数形结合，就能寻找到解题的途径。

例3已知抛物线y=x2-mx+2m-4.⑴求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；⑵当抛物线与x轴交于A、B两点（A在y轴左侧，B在y轴右侧），且OA与OB的长的比为2：1，求m的值.

分析：抛物线与x轴有无交点的问题，可转化为一元二次方程有无实数根的问题，应由根的判别式△=b2-4ac解决；问题⑵可以归结为一元二次方程有一正一负两根且两根的比的绝对值等于2：1的问题，利用根与系数的关系解决。

解：⑴因△=（-m）2-4（2m-4）=（m-4）2≥0，故不论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点.（2）设两个交点的横坐标为x1，x2，依题意，得：

x1=-2x2，x1+x2=m，x1·x2=2m-4，m<0

解之，得m=-2.

说明：把二次函数的某些问题转化为求解一元二次方程的有关问题，是一种常用的解题思路。二次方程与二次函数既有区别，又有联系，要善于把二者结合起来思考，往往能使问题迎刃而解。

练习：如图所示，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a>b，且a、b是方程■+■=1的两个根.P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，作以PQ为一边的正方形PQRS.点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2.

（1）求a和b；

（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4时，y和x之间的函数关系式.

浅谈高中数学类比推理的几种类型 篇4

数学中,类比是发现概念、方法、定理和公理的重要手段,也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.类比在数学中应用广泛,数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论,都是先用类比法猜想,而后加以证明.本文将对高中数学中几种常见的类比推理举例汇总.

一、从二维平面类比到三维空间

平面与空间的关系我们可以从下表找出规律:

例1.命题p:若△SAB的两边SA、 SB互相垂直,点S在AB边上的射影为H,则SB2=BH·AB.

命题q:若四面体VABC的三个侧面两两垂直,点V在底面ABC上的射影为H,则S2△VAB=S△ABH·S△ABC.

例2.命题p :若 ∠C =90 ° , AC=b , BC=a ,则 △ABC的外接圆半径

命题q :四面体ABCD中,三条侧棱两两垂直,三条侧棱分别是a、b、c ,则四面体的外接球半径

( 注意 : 有些同学 容易写成, 证明略 )

二、从等差类比到等比数列

等差数列与等比数列的类比的几种情形:

例3.命题p:在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+……+an=a1+a2+…… a19-n(n<19-n,n∈N+)等式成立.

命题q:在等比数列{bn}中,若b9=1, 则有等式b1·b2·……·bn=b1·b2·……·b17-n(n<17-n,n∈N+)成立.

例4.命题p:等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m,n∈N+且m≠n),则Sm+n=0.

命题q:等比数列{bn}中bn>0,前n项积为Tn,若Tm=Tn(m,n∈N+且m≠n),则Tm+n=1.(注意:有些学生大都写成Tmn=1, 此处m+n不作迁移).

三、从椭圆类比到双曲线

椭圆与双曲线的方程从结构上看,符号是它们最大的差别,所以我们在类比椭圆双曲线问题的时候可以从符号入手,加以求证.

例5.命题p :椭圆的斜率为1的弦的中点在直线

命题q :双曲线的斜率为1的弦的中点在直线上.

例6. △ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点,顶点C在该曲线上,当m > n >0时,有,类似地,当时,有

顶点C在该曲线上,当m>n>0时,有e· (sin A+sin B)=sin C,类似地,当m>0,n<0时,有e姨sin A-sin B姨=sin C.

四、从实数类比到复数

实数到复数主要从运算律和一些性质来类比,研究时可以举例来类比推理.

例7. 对于非零实数a、b,以下四个命题都成立:

3若则

4若,则 a=b .

那么,对于非零复数a、b,仍然成立的命题是2、4.

分析:此类题目可以举反例验证.1中a=i时,不成立;3中a、b互为共轭复数时, 不成立.

例8. 给出下列类比推理命题:(其中R是实数集,C是复数集)

1若a、b∈R,则a-b=0圯a=b,类比推出若a、b∈C,则a-b=0圯a=b;

2若a、b∈R,则ab=0圯a=0或b=0,类比推出若a、b∈C,则ab=0圯a=0或b=0;

3若a、b∈R,则a-b>0圯a>b,类比推出若a、b∈C,则a-b>0圯a>b;

4若a、b∈R,则a2+b2≥0,类比推出若a、b∈C,则a2+b2≥0.

所有命题中类比结论正确的序号是1、2.

面试官的几种类型介绍 篇5

在找工作的道路上，有一拨人，他们就像是你通向offer路上的一道道关卡，至于是否能够顺利闯关，则完全取决于你和他(她)的沟通和交流是否顺利，并且拍板权绝对在他们手中!这拨“挖坑好手”团伙有一个共同的名字，那就是：面试官!在人海茫茫的面试官中，奇葩面试官数不胜数!那么，你可能都会碰到哪些奇葩面试官呢?让我来一一道来。

类型一：虚张声势

故意虚张声势，有意制造紧张的面试，就是传说中的“压力面试”，楼主我就有过这样的经历，面试他的是项目经理和总监，两位面试官表情严肃冷峻，直接给我来了个下马威!首先了解我最熟悉的技术，但是又故意问我不熟悉的技术，而且还是一连串的发问，如果是你，你会怎么办?

楼主我当然是：从容应对，真诚回答!

当我知道这是压力面试时，就明白了面试官主要是测耐压性和冷静处理问题的能力，而不是问题本身是否回答了满分!因此，正确应对的方法是保持淡定，从容应对，真诚回答。

在面试官看来，只要能够从容应对本身就过关了!面试的目的不是为了考倒你，只要不过度紧张，保持一定的逻辑思考能力，把看问题的角度、解决问题的方法与途径充分表达出来足矣!

类型二：无理挑剔

这一类面试官往往先否定你的成绩和观点，然后看你在被否定的情况下表现出的处理能力，这也属于压力面试，类似的质疑性问题有很多，如“你认为你刚才的回答正确吗?我觉得似乎不太正确，你为什么那么肯定?”、“这就是你的简历吗?明显没有很好地准备和修改”、“我对你今天的面试表现非常失望!”等等，遇到这类面试官司，该如何应对呢?

1.保持淡定，不要被突如其来的质问和否定给吓住，只要自己认真面对每个问题，回答能自圆其说，就应该对自己的判断和回答有信心，保持微笑和镇定。

2.耐心解释，在坚持自己见解的同时，对他的无理挑剔给予心平气和的解释，要显得有耐心和涵养，尽力表现出沉着和冷静，而不是激动、失态地据理力争。

3.提出反问，除了解释，也可以提出反问，比如“您觉得我的简历有什么需要改进的地方”或者“您对我的面试表现失望，请问优秀的面试表现应该是怎样的?”等等，这个反问要用得自然，不要让面试官觉得你是刻意的，而且是语气一定要缓和友好。

总之，心态平和、耐心细致、沉稳老练、信心十足、临危不乱是在压力面试时需要表现出的.性格特征。

类型三：穷追不舍

“你能谈谈你失败的职业经历吗?”

“在这些经历中，你吸取了怎样的教训?”

“做项目过程中你有遇到什么样的问题吗?”

“这些问题你都是怎么解决的?”

“从经历看，你的性格比较抑郁悲观，不适合我们的工作”……

这样的问题每次的回答都会成为下一个问题的把柄，这类面试的目的只有一个，在刁钻问题的背后，尝试考察你的能力与适应性、独立工作的能力和团队精神、对领导的服务性、处理困难问题的能力、处理紧急事件的态度、忍耐能力等，

对此，你的应对方法最好是坚持到底，认真回答每一个问题，并且保持足够的耐心和信心。

类型四：一言不发

楼主我还遇到过一个这样的面试官，面试官一走进来就拿着他的简历和笔试题看来看去、就是不说话，也不看他，这就是招聘中惯用的技量“冷场”，能有效检验应届者的心理素质和办事能力，这个时候一定要沉着冷静、随机应变。

1.适当套近乎，或许面试官本身也是一个参加工作不久的开发人员，没有面试别人的经验，紧张，不知道该问什么，这时候，就全靠自己主动，甚至可以套套近乎，问问面试官老家是哪的，缓和一下紧张的气氛。

2.适当反问，“以上是我个人的基本情况，对此您有什么看法?”或者说，“有需要了解的吗?”这样，往往能够化被动为主动。

3.投其所好，面试前多了解一些企业的信息，当发现冷场时，随意谈及公司产品或今后的发展趋势以及开发团队的情况等，并巧妙地把自己关心的一些问题穿插在其中,我相信，作为企业中的一员，面试官也很愿意去跟你讨论有关企业的发展。

类型五：故意闲扯

这类面试官会突然开始东拉西扯一些看似和我们面试没有关系的事情，故意创造放松的面试氛围，而轻松的环境下更容易暴露你的真实能力和性格，那么面试官都喜欢闲聊什么呢?这里面暗藏着什么玄机呢?

1.闲聊家常或感情问题，例如“找女朋友了吗?”，你为什么来这个城市?其实主要是想看看你是否会长时间、稳定的在这个岗位上工作，所以如果你真的非常想要这份工作的话，那么一定要让面试官觉得你是一个踏实的人，非常喜欢这个工作而且没有不固定的因素影响你去变动这个工作。

2.闲聊“老东家”，当面试过程中聊到技术类项目时，会故意闲扯说以前我们公司怎么怎么样之类的话题，这时，一定要揣摩好面试官的心思，谨慎小心回答，勿拿“老东家”说事，祸从嘴出，稍不慎你就可能会被带入陷阱，第一、不要埋怨“老东家”，尽量避开情绪化的评语，尽可能多从自身谈;第二、不要泄漏“老东家”的商业秘密，会让面试官觉得你不靠谱。

当同学们遇到这种“挖坑好手”面试官时，往往会以“ ”一词精辟地总结当天的面试，但是，其实会挖坑的面试官才是真材实料的好伯乐!他们不但从技术角度考察你，还从心理角度洞察你的潜力，让你找到自己的弱点!这也告诉我们，作为一匹货真价实的千里马，不但要讲究技术，还要具备强硬的心理素质，具备站在对方角度考虑问题的能力!

热量计算题的几种类型 篇6

例1把冰块放在食品上面，利用冰块吸热保鲜食品。一块低温的冰吸收8.4×103 J的热量，温度升高10 ℃，冰块没有融化。试求这块冰的质量是多少千克？

解析由Q=cm△t，得冰块的质量为

m===0.4 kg

说明当温度发生变化时，热量的计算公式是Q=cm△t，可展开为Q=cm(t－t)和Q=cm(t－t)。使用公式时应注意理解“温度升高到（或降低到）”“温度升高（或降低）”的含义，从而能正确使用温度变化量△t。

例2初温相同的铜和铅，它们的比热容之比是3∶1，质量之比是2∶3，若它们吸收相等的热量，铜升高的温度与铅升高的温度之比是()。

A. 1∶2B. 2∶1C. 2∶9D. 9∶2

解析由题设条件可知，c/c=3/1，Q/Q=1/1。根据热量的基本公式Q=cm△t得△t=Q/cm，所以铜升高的温度与铅升高的温度之比为

==××=××=

故正确的答案应选Ａ。

说明利用热量的计算公式解求比值的问题时，先要将文字语言转化成字母语言，然后利用公式列出所求的比与已知比值的关系式，再代入已知比值求得结果。

二、能量转移型

例3为了测量某种液体的比热容，把质量为100 g的铜块从沸腾的水中取出（标准大气压下），迅速投入质量为100 g，温度为10 ℃的待测液体中，混合后的共同温度是25 ℃。若不计热量的损失，求这种液体的比热容为多少？

解析铜块放出的热量为Q=cm△t，液体吸收的热量为Q=cm△t。若不计热量损失，则有Q=Q，即cm△t= cm△t 。

代入有关数据得：

c×0.1kg×（25℃－10℃）=0.4×103J/(kg·℃)×0.1kg×（100℃－25℃）

解得c=2×103J/(kg·℃)

说明研究热传递问题时应注意：①分清放热物体和吸热物体；②认清混合温度的含义，即混合温度是吸热物体的末温，也是放热物体的末温；③注明公式中各物理量的角标。

三、能量转化型

例4要使4 kg的水温度升高50 ℃需要吸收多少热量？若这些热量全部由燃烧酒精获得（不计热量损失），则需要完全燃烧多少千克的酒精？

解析由公式Q=cm△t，得水吸收的热量为：

Q=cm△t=4.2×103 J/(kg·℃)×4 kg×50℃=8.4×105 J

若不计热量损失，则有Q=Q，且Q=mq，

所以m酒精===2.8×10-2kg。

数学课小结的几种类型 篇7

关键词：初中数学,方程型综合题,函数型综合题,方程与函数型综合题

方程与函数综合题是历年中考的必考内容,它主要是围绕着方程和函数展开的,可分为三大类型:方程型综合题、函数型综合题、方程与函数型综合题。

解方程与函数综合题,第一要掌握好数和式这些知识体系,它们是方程和函数的构成基础;第二要掌握好方程的各种解法和相关定理,掌握好函数的概念及其各种性质,掌握好方程和函数间的各种联系;第三要会适时恰当地运用方程与函数思想、转化思想、分类思想,灵活运用配方、消元、代换、待定系数法等基本方法。当然,解方程与函数综合题,还要求我们有较强的分析问题和解决问题的能力,善于把综合性的问题转化为若干个基本问题来解决。下面我们逐一分析这三大类型:

一、方程型综合题

方程型综合题主要是以一元二次方程为主线,直接利用二次方程根的定义、方程的解法、根的判别式、 根与系数的关系、不等式等有关知识来解决问题。

例1. 设x1、x2是关于x的方程x2+4kx+3=0的两个实数根,y1、y2是关于y的方程y2-k2y+p=0的两个实数根。若x1-y1=2,x2-y2=2,求k和p的值.

分析:由根与系数的关系及已知,可建立关于k的二次方程,再利用根的判别式即可确定k的值,从而进一步求出p的值。

说明:本题的关键是利用根与系数的关系构造方程,再结合根的判别式确定k,p的值。

练习:已知:关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0只有整数根,且关于y的一元二次方程 (k-1)y2-3y+m= 0有两个实数根y1和y2.

求:(1)当k为整数时,确定k的值;

(2)在(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y12+y22.

二、函数型综合题

例2如图所示,已知反比例函数的图象经过点,过点A作AB⊥OX于点B,△AOB的面积为

(1)求k和b的值;

(2)若一次函数y=ax+1的图象经过点A,并且与x相交于点M,求AO:AM;

(3) 如果以AM为一边的正三角形AMP的顶点P在二次函数的图象上,求m的值.

分析:⑴由且b>0可求得k、b的值;(2)由直线y=ax+1过点A可求出a的值,从而得到M点的坐标,再由勾股定理求得AO与AM的值; (3) 在Rt△ABM中,由AB与AM的值可求得∠BMA=30°,再分类讨论点P位置的两种情况,再由点P在抛物线上,得到M的值。

在 Rt△ABO 中,

(3)由(2)得,Rt△ABM中,∵AB=2,AM=4,∴∠BMA=30°∵ 点A在第二象限,M在x轴的正半轴上,且 ∠AMB=30°,∠AMP=60°,∴ 点P的位置有两种情况: 1点P在第一象限,∵∠BMA=30°,∠AMP=60°,∴ ∠PMB=900,∴ 点P的坐标为(31/2,4).由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上,得m=4;2点P在第三象限,可求得点P的坐标为(- 31/2,-2).由点P在二次函数y=-x2+mx+m-9的图象上,得m=-5.综上所述,m=4或m=-5.

说明:此题易错处是考虑不周,第⑶问没有分类讨论,做此类题应多加注意。

练习:如图所示,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别 为(-3,0)、(0,3).

(1) 一次函数图象上的两点P、Q在直线AB的同侧, 且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3, 若 △PAB和△QAB的面积都等于3,求这个一次函数的解析式.

(2)二次函数的图象经过点A、B,其顶点C在x轴上方且在直线PQ上,求这个二次函数的解析式.

(3) 若使⑵中所确定的抛物线的开口方向不变,顶点C在直线PQ上运动,当点C运动到C′时,抛物线在x轴上截得的线段长为6,求点C′的坐标。

三、方程与函数的综合题

这类问题主要是沟通了二次方程与二次函数之间的内在联系,解题的关键是抓住二次方程的有关理论与二次函数的有关性质,借助数形结合,就能寻找到解题的途径。

例3已知抛物线y=x2-mx+2m-4.⑴求证:不论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点;⑵当抛物线与x轴交于A、B两点 (A在y轴左侧,B在y轴右侧), 且OA与OB的长的比为2:1,求m的值.

分析:抛物线与x轴有无交点的问题,可转化为一元二次方程有无实数根的问题,应由根的判别式 △=b2-4ac解决;问题⑵可以归结为一元二次方程有一正一负两根且两根的比的绝对值等于2:1的问题, 利用根与系数的关系解决。

解:⑴因△=(-m)2-4(2m-4)=(m-4)2≥0,故不论m为任何实数,抛物线与x轴总有交点.(2)设两个交点的横坐标为x1,x2,依题意,得:

解之,得m=-2.

说明:把二次函数的某些问题转化为求解一元二次方程的有关问题,是一种常用的解题思路。二次方程与二次函数既有区别,又有联系,要善于把二者结合起来思考,往往能使问题迎刃而解。

练习:如图所示,在矩形ABCD中,BC=acm,AB=bcm,a>b,且a、b是方程的两个根.P是BC上一动点,动点Q在PC或其延长线上,BP= PQ,作以PQ为一边的正方形PQRS.点P从B点开始沿射线BC方向运动,设BP=xcm,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为ycm2.

(1)求 a 和 b;

(2) 分别求出0≤x≤2和2≤x≤4时,y和x之间的函数关系式.

数学课小结的几种类型 篇8

1. 代数式与几何结合性问题

例1如图, 已知在△ABC中, AB = AC, ∠BAD = 30°, AE = AD , 求∠EDC的度数.

分析这道题可以用几何的方法来解.

解答∵∠ADC = ∠B + ∠BAD = ∠B + 30° = ∠ADE + ∠EDC, 又∵∠AED=∠ADE, ∴∠AED=∠C+∠EDC, ∴∠B + 30° = ∠C + 2∠EDC. ∵∠B = ∠C, ∴∠EDC = 15°.

我们在做的过程中发现之间关系比较多、较复杂, 所以, 我们想是否可以用代数方法来解.

分析设∠B的度数为x°, 根据题意可得∠C为x°, ∠DAE为 (150 - 2x) °, ∠ADE为 (15 + x) °, ∠ADC为 (30 + x) °.

解答∠EDC=∠ADC-∠ADE= (30+x) °- (15+x) °=15°.

说明在这道题中用几何或用代数都可以来解, 但是若用代数来解比较简单、明了.

2. 方程与几何结合型问题

方程与几何结合型问题, 是中考题中常见题型. 这类题型, 以几何图形为载体, 以方程思想为依托, 着重考查学生“数形结合”的思想方法, 考查学生综合运用方 程和几何 知识的能力.这几年, 中考命题从知识立意转向能力立意, 考题中对数学思想方法的应用、综合能力的考查有所加强.

例2如图, 菱形ABCD中内接三角形AEF为等边三角形, 且AB = AE, 求四边形的各个内角.

分析这道题目条件都与边有关, 很难用几何方法来解. 故可用代数方法解决.

解答设∠BAE为x°, 根据题意可得∠FAD为x°, ∠ABE为 ( (180 - x) /2) °.再根据菱形ABCD, 可得一元一次方程 ( (180 - x) / 2) +x+60+x=180, 解得x=20°.

所以四边形的内角分别为80°, 100°.

说明三角形、四边形在求角的过程中经常用设未知数、列方程来解.关键是抓住题目中的条件列出一元一次方程.

3. 不等式与几何结合问题

例3设x > 0, y > 0, z > 0, 求证 :

分析此题若用代数解的话一定是非常复杂, 所以, 我们想是否 可以用几 何的方法 来解决这 种题目 . 观察到即是以x, y为边、夹角为60°的三角形的第三边, 所以就可以构造这样的一个图形.

解答构造如图, 从图形可得

在△ABC中, 由三角形的三边关系很容易得到AB+BC>AC.

说明这是不等式的几何证法, 需要对解析式的几何意义有很强的直观感觉, 因此要求比较高, 不过在应用过程中可以发现解题十分简便.

4. 函数与几何结合问题

函数与几何结合型这类试题, 一般来说, 难度较大, 解这类问题的关键就是要善于利用几何图形的有关性质. 几何中的有关定理和函数的有关知识需要注意挖掘问题中的一些内含条件, 以达到解题的目的.

函数与几何型问题将是今后中考命题的热点, 并以压轴题的形式考查, 考查的重点是运用函数知识与几何知识解决数学综合题的能力.

例4如图 , 已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点.⊙M经过原点O及A, B两点. (2002年河南省中考题)

(1) 求以OA, OB两线段长 为根的一元二次方程.

(2) C是⊙M上一点 , 连接BC交OA于点D, 若∠COD = ∠CBO, 写出经过O, C, A三点的二次函数的解析式.

(3) 若延长BC至E, 使DE = 2, 连接EA, 试判断直线EA与⊙M的位置关系, 并说明理由.

分析第 (1) 题是关于函数的问题, 只要求出线段OA, OB的长即可.根据题意可得

所以OA = 3, 故以OA, OB两线段长为根的一元二次方程是

第 (2) 题是关于圆的问题, 关键是求出C点的坐标.这就需要根据题目的已知条件及圆的性质来解题.

因为∠COD = ∠CBO, 所以AC, CO所对的弧相等.由垂径定理可得然后把O, C, A的坐标代入可求a, b, c.所以二次函数的解析式为

第 (3) 题也是关于圆的问题, 要判断EA与⊙M的位置关系, 只需要计算∠BAE的度数, 即求出∠BAO, ∠DAE的度数.根据题意可得∠BAO = 30°, ∠DAE = 60°, 所以∠BAE为直角. 故EA与⊙M相切.

牛休克的几种类型 篇9

1 低血容量性休克

低血容量性休克表示体内血管因大量流失血浆、体液等, 使得正常血容量迅速降低, 导致微循环功能出现了故障。临床上主要表现为腹痛难忍、剧烈呕吐、排尿失常、血浆、盐分及水分大量流失, 胃肠道出现内出血、静脉血管破裂等临床症状, 还会由于骨折、肌肉损伤等引起血浆外渗。通常牛低血容量性休克主要受体内脱水引起。从牛身体结构进行分析, 牛属于极少呕吐动物, 但由于其体内储存了大量水分, 在胃部积食时会产生瘤胃积水症状。牛小肠较长, 经常会因肠阻塞、肠位变化等产生各种消化不良症状, 此时牛胃部消化液就会向消化道转移, 导致血液浓缩。针对性的采取一些措施, 可以维持牛消化道通畅, 但病牛依然会出现腹泻、循环量减少和微循环障碍等多种问题, 主要表现为虚脱、休克或急性发作死亡。幼小的犊牛发生腹泻概率较高, 而且很多都受病毒或细菌感染引起, 一般由冬季痢疾、牛细小病毒病、冠状病毒病等引起[1]。一些较严重的寄生虫会长期寄生在牛体内, 还会导致牛出现严重性腹泻, 如前后盘吸虫病和肝片吸虫病等疾病。

2 中毒性休克

中毒性休克是一种由葡萄球菌外毒素引起的综合症, 临床症状为呕吐、高热、意识模糊和皮疹, 严重时将造成休克。中毒性休克主要由于牛食用了各种毒素而中毒。该病常发于犊牛。按照中毒性休克类型, 可以将其划分为有机磷农药中毒、酸中毒、汞中毒、尿素急性中毒、硝酸盐中毒和亚硝酸盐中毒等。一般中毒后牛体内大量组织会被分解, 产生多种毒素, 造成如大面积烧伤、大面积褥疮等严重性损害。奶牛产后较容易发生脓毒败血症和急腹症, 当有毒物质达到一定程度后就会形成严重的中毒性休克。当牛患有肺气肿、胸膜肺炎、气胸等症状后, 会增加二氧化碳含量, 导致牛出现严重性缺氧症状;如果牛患有肺炎, 胸膜肺炎渗出物就会被吸收, 导致因体内毒素较多而产生休克。严重时将导致膀胱破裂, 大量尿液进入到牛腹中, 产生严重的尿毒症并引发休克。

3 创伤、外伤性休克

高强度的外力作用容易导致牛颅脑出现损伤, 严重者将出现四肢脱臼, 肝破裂、子宫破裂, 胸腹壁穿透、真胃穿孔, 子宫外孕、出血、脱垂等病症。一方面, 牛疼痛过度后会产生大量的内啡肽和含有激肽, 直接影响微循环, 容易产生微循环障碍;另一方面, 牛出血或渗血量较大时, 会让大量的血液进入到子宫腔、组织等器官内, 减少循环血量, 容易造成牛休克或虚脱。此外, 受外界因素影响, 如雷电、烧伤、辐射等均可能造成牛休克。

4 心源性休克

牛心源性休克主要由自发性硒缺乏或病毒感染等产生高山病、心水并、急性内膜炎、心力衰竭等病症。一般当牛自身心动力不足或收缩力减弱时, 组织血供给严重匮乏, 同时心搏出血量也会减少, 组织内部供血严重匮乏, 组织会出现缺血和缺水等症状, 进而产生休克。临床研究发现, 血管异常是引起休克的主要原因, 通常血管加压素、肾血失衡导致血管扩张和收缩状况造成破坏, 血液长期滞留在组织内, 减少了循环血量, 进而产生休克。多种细菌数和甲肾上腺素分泌较多, 导致毛细血管、内脏、皮肤及小动脉收缩。血液灌注量不足会引起机体缺血或缺氧, 增加了组胺和5-羟色胺的含量, 引起毛细血管扩张激活麻痹, 长期形成淤血, 血浆发生外渗, 产生休克[2]。红细胞与血红蛋白承担着输送和运氧的载体, 一旦血液中血红蛋白和红细胞数量减少, 就会造成组织内部细胞快速死亡, 引起供血不足, 导致休克。此外, 再生障碍贫血、内贫血或溶解性疾病等, 均有可能造成机体循环虚脱或发生严重性休克。

5 过敏性休克

过敏反应主要由于注射疫苗或输血液时, 因机体不适应等产生过敏反应;同时, 毒马蜂毒素中毒、蛇毒素中毒等均有可能产生一些过敏反应。而且牛服用的药物如四环素、链霉素、青霉素及安乃近等, 均有可能短期内在机体内生成五羟色胺, 引起毛细血管扩展, 内皮细胞之间距离增加, 血浆向血管外部渗透等产生休克。过敏性休克也是一种立即型的免疫反应, 抗原吸附在嗜酸性粒细胞或较肥大的细胞上, 与Ig E相结合, 进而在牛体内产生很多反应, 释放出大量慢反应物质、前列腺素等, 产生快速过敏和休克。

6 感染性休克

感染性休克的主要表现是白细胞数量增加, 发生核转移, 单核细胞减少和消失, 血沉速度加快, 体内红细胞和血红细胞迅速减少。随着牛病情的发展, 白细胞数量减少, 血液细菌呈阳性。牛感染性休克是一种全身性疾病, 主要表现为全身感染, 容易引起缺血性脓毒败血症, 如淋巴结炎、子宫内膜炎等;病牛体温升高, 全身寒战, 脉搏降低, 身体消瘦, 产生休克。

7 结语

牛休克是一种严重的疾病, 如果不能及时发现与实施治疗, 随着疾病的发展, 症状越来越严重, 伴有微循环障碍产生。因此, 必须结合牛病理变化, 及时对症治疗, 纠正微循环;还要及时补充血容量, 改善牛心肺功能, 加强饲养管理, 提高相关人员的认识, 促进病牛的快速康复, 减少养殖户的经济损失。

参考文献

[1]马海东, 臧明实, 王博.牛休克的几种类型[J].养殖技术顾问, 201 (45) :156.

分配问题的几种类型及其解法 篇10

一、正确识别分配问题的类型

总体而言, 分配问题有两种类型:相同元素的分配问题与不同元素的分配问题。相同元素的分配是组合问题, 不同元素的分配是组合排列综合问题, 正确识别类型是解决分配问题的首要任务。

例1:将6个竞赛名额分给4个班级, 每个班至少1个, 则不同的分配方案共有多少种?

例2:将4名教师分配到3所中学任教, 每所中学至少1名教师, 则不同的分配方案共有多少种?

名额之间是无区别的, 所以例1属相同元素的分配问题;教师之间是有区别的, 所以例2属不同元素的分配问题。

二、相同元素分配问题的基本模型与解法

基本模型:将n个相同元素分装到m (m≤n) 个不同盒中, 每盒至少一个球, 有多少种不同的分配方案?

分析与解:将n个相同元素视作排成一排的n个相同小球, 每两个小球之间有一个间隔, 共有n-1个间隔。要把这n个小球分开成m段 (每段至少一个球) , 只需从n-1个间隔中任意选择m-1个间隔放进隔板, 从而共有Cnm-1-1种不同的分配方案。

根据上述思路, 例1共有C53=10种不同的分配方案。

下面几种相同元素的分配问题都可转化为基本模型来解。

例3:将6个相同小球分到4个不同盒中, 每盒可空, 则不同的分配方案共有多少种?

解:该问题等价于“将10个相同小球分到4个不同盒中, 每盒至少1个”, 因此不同的分配方案共有C93种。

例4:将20个相同小球分到3个不同盒中, 每盒至少4个, 则不同的分配方案共有多少种?

解:先往3个盒中分别放入3个小球, 再将剩下的11个小球分到3个盒中, 每盒至少1个, 共有C210种不同的分配方案。

例5:将20个相同小球分到编号为1, 2, 3的三个盒中, 要求每个盒子中的球数不小于它的编号数, 则不同的放法有多少种?

解:先在编号为1, 2, 3的三个盒中依次放入0, 1, 2个球, 再将剩下的17个小球分到3个盒中, 每盒至少1个, 共有C216种不同的放法。

三、不同元素分配问题的几种类型与联系

1. 将个不同的球分装到n-1个不同盒中, 每盒至少一个球, 有多少种装法?

分析与解:先分类, 满足题意的装法只有一类, 有一个盒子中装2个球, 其余每个盒子各装一个球。再分步, 第一步将n个不同的球按题意分为n-1组, 有Cn2种组合;第二步将这n-1个组分到n-1个不同盒中, 每个盒子各一组, 有Pn-1n-1种装法;根据乘法原理, 共有Cn2×Pn-1n-1种不同的装法。

根据上述思路, 例2共有C42×P33=36种不同的装法。

“将个不同的球分装到n个不同盒中, 恰好有一个空盒”也可以转化为类型Ⅰ来解。

例6:将四个不同的小球分到编号为1, 2, 3, 4的四个盒中, 则恰好有一个空盒的放法种数为多少?

解:第一步选定一个盒子为空盒, 有C41=4种选法, 第二步将四个不同的小球分到三个盒中, 每盒至少一个, 问题就转化为例2, 有C42×P33=36种放法, 根据乘法原理共有144种不同放法。

2. 将n个不同的球分装到m (m

类型Ⅱ的一般解法和类型Ⅰ一样, 可以视n, m的具体值先分类再分步, 现以一个例子说明。

例7:将4名教师分配到2所中学任教, 每所中学至少1名教师, 则不同的分配方案共有多少种?

先分类再分别进行分步计数。根据题意, 将问题分为“一所中学3名, 一所中学1名”与“2所中学各2名”两类。对第一类, 第一步分组有C43种组合, 第二步将这两个组分到2所中学, 有P22种不同分法, 由乘法原理, 第一类有C43×P22=8种不同分配方案;对第二类, 第一步先将4名教师平均分为两组, 注意到平均分组必须剔除两步的顺序性, 故有种组合, 第二步将这两个组分到2所中学, 有种不同分法, 由乘法原理, 第二类有6种不同分配方案。根据分类计数原理, 总共有14种不同的分配方案。