二次函数复习

二次函数复习（精选十篇）

二次函数复习 篇1

1. 经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程, 抽象出二次函数的概念, 并结合具体情境领会二次函数作为一种数学模型的意义. 能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向, 对称轴和顶点坐标.

2. 能画出二次函数的图像, 根据图像和解析表达式探索并理解二次函数的主要性质. 理解一元二次方程与二次函数的关系, 并能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根.

3. 通过复习逐步提高观察和归纳分析能力, 体验数形结合的数学思想方法.

4. 能依据已知条件确定二次函数的解析式, 并能领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路.

二、中考链接

二次函数是中考命题的重点, 主要考查二次函数的图象、性质及表达式的确定, 在填空题、选择题和解答题中都有出现, 常与方程、几何等知识综合编拟压轴题.

三、知识精要整合

请大家根据所学内容完成下面的填空:

1. 二次函数的定义: 形如y = ax2+ bx + c (__________) 的函数为二次函数.

2.二次函数的图像和性质:二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线.顶点为_______, 对称轴_______;当a>0时, 抛物线开口向上, 图像有_____, 且x>-b/ (2a) , y随x的增大而________, x<-b/ (2a) , y随x的增大而_________;当a<0时, 抛物线开口向下, 图像有_______, 且x>-b/ (2a) , y随x的增大而__________, x<-b/ (2a) , y随x的增大而___________. (3) 当a>0时, 当x=-b/ (2a) 时, 函数有最小值________;当a<0时, 当x=-b/ (2a) 时, 函数有最大值__________.

3.图像的平移:将二次函数y=ax2 (a≠0) 的图像进行平移, 可得到y=ax2+c, y=a (x-h) 2, y=a (x-h) 2+k的图像. (1) 将y=ax2的图像向上 (________) 或向下 (_____) 平移|c|个单位, 即可得到y=ax2+c的图像, 其顶点是 (0, c) , 形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同. (2) 将y=ax2的图像向左 (________) 或向右 (______) 平移|h|个单位, 即可得到y=a (x-h) 2的图像.其顶点是 (h, 0) , 对称轴是直线x=h, 形状、开口方向与抛物线y=ax2相同. (3) 将y=ax2的图像向左 (_________) 或向右 (________) 平移|h|个单位, 再向上 (_______) 或向下 (__________) 平移|k|个单位, 即可得到y=a (x-h) 2+k的图像, 其顶点是 (h, k) , 对称轴是直线x=h, 形状、开口方向与抛物线y=ax2相同.

二次函数有三种不同的表示方法, 分别是____________________.

二次函数表达式的求法: ( 1) 若已知抛物线上____________, 可利用一般式y = ax2+ bx + c求; ( 2 ) 若已知抛物线的____________, 则可采用顶点式: y= a ( x - h) 2+ k其中顶点为 ( h, k) 对称轴为直线x = h; ( 3) 若已知抛物线___________, 则可采用交点式: y = a ( x - x1) ( x - x2) , 其中与x轴的交点坐标为 ( x1, 0) , ( x2, 0) .

4. 二次函数与一元二次方程的关系:

5. 用二次函数解决实际问题时的基本思路: ( 1 ) 理解问题; ( 2 ) 分析问题中的变量和常量; ( 3) 用函数表达式表示出它们之间的关系; ( 4) 利用二次函数的有关性质进行求解; ( 5) 检验结果的合理性, 对问题加以拓展等.

另外, 二次函数常用来解决最优化问题, 这类问题实际上就是求函数的最大 ( 小) 值; 二次函数的应用包括以下方面: 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 ( 小) 值.

四、数学思想方法提炼

数学思想方法是从数学内容中抽象概括出来的, 是数学知识的精髓, 是知识转化为能力的桥梁. 因此, 领悟并掌握了数学思想方法就等于拿到了解题的金钥匙. 本章主要的思想方法有:

1. 数形结合思想: 将直观的图象与数学语言结合起来, 通过图象的认识、数形的转换, 培养思维的灵活性、形象性, 使问题化难为易, 化抽象为具体;

2. 函数思想: 把实际问题中的变量与变量建立一种特殊的对应关系, 并结合函数图象, 利用函数的性质解决实际问题;

3. 方程思想: 充分挖掘已知量与未知量之间的数量关系, 建立方程 ( 组) , 然后用方程的理论和解方程的方法解决问题;

4. 待定系数法: 为了确定变量间的函数关系, 先设出某些未知系数, 然后根据所给条件得出系数应满足的方程或方程组, 并通过解方程或方程组求出待定的系数.

五、2012年中考链接

考点1抛物线的平移变换

例1 ( 2012 年·四川省德阳市中考) 在同一平面直角坐标系内, 将函数y = 2x2+ 4x + 1 的图象沿x轴方向向右平移2 个单位长度后再沿y轴向下平移1 个单位长度, 得到图象的顶点坐标是 ()

A. ( - 1, 1) B. ( 1, - 2) C. ( 2, - 2) D. ( 1, - 1)

分析: 根据二次函数的平移不改变二次项的系数, 先把函数y = 2x2+ 4x + 1 变成顶点式, 再按照“左加右减, 上加下减”的规律, 把y = 2x2+ 4x + 1 的图象向右平移2 个单位, 再向下平移1 个单位. 即可求得新抛物线的顶点.

解: 函数y = 2x2+ 4x + 1 变形为y = 2 ( x + 1) 2- 1 平移后的解析式为y = 2 ( x - 1) 2- 2, 所以顶点为 ( 1, - 2) . 故选B.

点评: 抛物线平移不改变二次项的系数的值; 讨论两个二次函数的图象的平移问题, 只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.

考点2图象与系数的关系

例2 ( 2012 年·山东泰安中考) 二次函数y = a ( x + m) 2+ n的图象如图, 则一次函数y = mx + n的图象经过 ()

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象限

解析: 由二次函数y = a ( x + m) 2+ n的图象可知其顶点在第四象限, 所以- m> 0, n < 0, m < 0, n < 0, 当m < 0, n < 0 时, 由一次函数的性质可得其图象过第二、三、四象限. 答案: C.

点评: 由二次函数的图象可确定其顶点坐标的符号; 一次函数图象的性质: 当k > 0, b > 0 时, 一次函数y = kx + b过一、二、三象限; 当k >0, b < 0 时, 一次函数y = kx + b过一、三、四象限; 当k < 0, b > 0 时, 一次函数y = kx + b过一、二、四象限; 当k < 0, b < 0时, 一次函数y = kx + b过二、三、四象限.

考点3二次函数解析式的确定

例3 (2012年·江苏泰州市中考) 如图, 在平面直角坐标系x Oy中, 边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上, 二次函数的图像经过B、C两点.

( 1) 求该二次函数的解析式;

( 2) 结合函数的图像探索: 当y > 0 时x的取值范围.

分析: 用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数解析式, 即可求出b, c的值, 然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标, 由图象法求得函数值y为正数时, 自变量x的取值范围.

解: (1) 由题意可得:B (2, 2) , C (0, 2) , 将B、C坐标代入得:c=2, b=4/3, 所以二次函数的解析式是

(2) , 得:x1=3, x2=-1, 由图像可知:y>0时x的取值范围是-1<x<3

点评: 本题考查了二次函数解析式的求法及利用图象法求解一元二次不等式, 渗透了数形结合思想. 其中本题的解法将三个“二次”和谐地结合起来, 突显二次函数的纽带作用, 通过函数, 将方程、不等式进行了综合考查.

考点4二次函数的实际应用

例4 ( 2012 年·哈尔滨中考) 小磊要制作一个三角形的钢架模型, 在这个三角形中, 长度为x ( 单位: cm) 的边与这条边上的高之和为40 cm, 这个三角形的面积S ( 单位: cm2) 随x ( 单位: cm) 的变化而变化.

( 1) 请直接写出S与x之间的函数关系式 ( 不要求写出自变量x的取值范围) ;

( 2) 当x是多少时, 这个三角形面积S最大? 最大面积是多少?

分析: 本题考查确定函数解析式, 二次函数最值. 三角形的边x和高的和是40, 可表示该边上的高位40 - x, 根据三角形面积公式是底乘高除2 可写出, 这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.

所以当x = 20cm时, 这个三角形的面积最大, 最大面积是200cm2.

点评: 二次函数是中考考查的必考内容之一, 本题是综合考查二次函数的最值问题, 需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题. 要注意解题过程的完整性.

考点5用函数观点看方程、不等式

例5 ( 2012 年·山东泰安中考) 二次函数y = ax2+ bx的图象如图, 若一元二次方程ax2+ bx + m = 0有实数根, 则m的最大值为 ()

A.-3 B.3

C.-5 D.9

解析: 方法一: 图象法, 由ax2+ bx + m = 0 得ax2+ bx = - m, 一元二次方程ax2+ bx + m = 0 有实数根, 得函数y = ax2+ bx与函数y = - m有交点, 所以- m≥ - 3, m≤3;

方法二:因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根, 所以b2-4 am≥0, 由y=ax2+bx的图象可得顶点纵坐标, , b2=12 a, 所以12 a-4 am≥0, 解得m≤3.答案:B.

点评: 本题考查了二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系, 既可以用图象法, 也可以用算术法, 开拓了学生的思维.

例6 ( 2012 年 · 四川省资阳市中考) 如图是二次函数y = ax2+ bx + c的部分图象, 由图象可知不等式ax2+ bx + c < 0的解集是 ()

A. - 1 < x < 5B. x > 5

C. x < - 1 且x > 5D. x < - 1 或x > 5

解析: 由二次函数的对称性, 在已知了对称轴直线和与x轴的一个交点坐标 ( 5, 0) 即可得出另一个交点坐标 ( - 1, 0) ; 再由不等式ax2+bx + c < 0 的解集即指x轴下方图像所对应的x取值. 故选D.

点评:本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系, 利用数形结合思想不难选出D选项, 但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用, 有可能会采取代入对称轴直线及与x轴交点坐标的方法运算, 将会花去考生大量时间, 故解决本题的关键是熟练初中数学的常见数学思想方法.

考点6几何函数题

例7 (2012年·甘肃兰州中考) 若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根, 则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与x轴的两个交点为A (x1, 0) , B (x2, 0) .利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为:

参考以上定理和结论, 解答下列问题:

设二次函数y = ax2+ bx + c ( a > 0 ) 的图象与x轴的两个交点A ( x1, 0) , B ( x2, 0) , 抛物线的顶点为C, 显然△ABC为等腰三角形.

(1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 求b2-4ac的值;

(2) 当△ABC为等边三角形时, 求b2-4ac的值.

分析: (1) 当△ABC为直角三角形时, 由于AC=BC, 所以△ABC为等腰直角三角形, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.根据本题定理和结论, 得到, 根据顶点坐标公式, 得到, 列出方程, 解方程即可求出b2-4ac的值;

( 2) 当△ABC为等边三角形时, 解直角△ACD, 得, 据此列出方程, 解方程即可求出b2- 4ac的值.

解: (1) 当△ABC为等腰直角三角形时, 过C作CD⊥AB于D, 则AB=2CD.

∵抛物线与x轴有两个交点,

( 2) 如图, 当△ABC为等边三角形时, 由 ( 1) 可知,

点评: 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质, 抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理, 综合性较强.

考点7创新型问题

例8 ( 2012 年·吉林省中考) 问题情境

如图, 在x轴上有两点A (m, 0) , B (n, 0) (n>m>0) .分别过点A, 点B作x轴的垂线, 交抛物线y=x2于点C, 点D.直线OC交直线BD于点E, 直线OD交直线AC于点F, 点E, 点F的纵坐标分别记为yE, yF.

特例探究

填空:

当m=1, n=2时, yE=________, yF=__________.

当m=3, n=5时, yE=___________, yF=__________.

归纳证明

对任意m, n ( n > m > 0) , 猜想yE与yF的大小关系, 并证明你的猜想

拓展应用.

( 1) 若将“抛物线y = x2”改为“抛物线y = ax2 ( a > 0) ”, 其它条件不变, 请直接写出yE与yF的大小关系.

( 2) 连接EF, AE. 当S四边形OFEB= 3S△OFE时, 直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状.

分析: 【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】 ( 1) 的特殊情况, 因此以【拓展】 ( 1) 为例说明前三小问的思路: 已知A、B的坐标, 根据抛物线的解析式, 能得到C、D的坐标, 进而能求出直线OC、OD的解析式, 也就能得出E、F两点的坐标, 再进行比较即可.最后一小题也比较简单: 总结前面的结论, 能得出EF∥x轴的结论, 那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系, 能判断出EF、OA的比例关系, 进而得出m、n的关系, 再对四边形OFEA的形状进行判定.

解: 特例探究

当m = 1, n = 2 时, A ( 1, 0) 、B ( 2, 0) 、C ( 1, 1) 、D ( 2, 4) ;

则:直线OC的解析式为:y=x;直线OD解析式为:y=2x;

∴F (1, 2) 、E (2, 2) ;即.yE=yF=2

同理:当m=3, n=5时, yE=yF=15.

归纳证明

猜想: yE= yF,

证明:yD=n2, yC=m2, 则, C (m, m2) , D (n, n2)

OD的解析式为y=nx;OC的解析式为y=mx

E在OC上, 横坐标为n, 当x = n时, yE= mn, F在OD上, 横坐标为m, 当x = m时, yF= mn

拓展应用

(1) 设yD=an2, yC=am2, 则C (m, m2) , D (n, n2)

OD的解析式为yOD=anx, yOC=amx

当x = n时, yE= amn; 当x = m时. yF= amn, ∴ yE= yF

( 2) ∵ 四边形OFEB是直角梯形, EF = n - m, OB = n, BE = mn

可得, EF = m, OA = m, ∴ EF‖OA且EF = OA. ∴ 四边形OFEA是平行四边形.

点评: 本题主要考查的是一次函数解析式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等知识, 综合性较强, 本题由特殊到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度, 对于基础知识的掌握是解题的关键.

知识精要整合参考答案:

1.a≠0, a, b, c为常数.

2., 最低点, 增大, 减小, 最高点, 减小, 增大,

3.c>0, c<0, h<0, h>0, h<0, h>0, k>0, k<0, 表格法、图像法、表达式法.

三点坐标, 顶点坐标或对称轴方程, 与x轴的交点坐标或交点的横坐标,

二次函数复习教案 篇2

摘要：水彩画在中学美术教育中占据着重要的地位，它不仅可以提升中学生的造型能力、色彩能力，同时也可以强化他们的审美素养。这里，笔者将结合自己的教学经验，来谈一谈水彩画技法教学的一点心得，以期大方之家给予批评指正。

关键词：中学美术课；水彩画；技法教学

一、水彩画技法指导

学生在画水彩画之前需要有这样的理念：从整体着眼，从局部入手。在脑海中必须有画面的整体构思与布局，在这个大前提下，再将画面有效地分成若干个小部分，逐一完成。具体过程下面将分条阐述。

（一）画面勾勒轮廓阶段

第一步就是教师指导学生先勾勒出素描稿，整体与局部的分配情况需要合理、恰切。为了提升上色的准确性、恰切性，整个过程需要运用铅笔来完成，并且在素描的过程中，需要有效地表现反光、高光、投影以及明暗交界线等。其中投影、暗部需要淡淡地用铅笔进行标记。这个素描过程至关重要，成为关键的开端。

（二）画面着色阶段

接下来就需要用刷子蘸上清水，在画纸上刷一遍，让水完全浸湿画纸。吃水饱和的画纸，在短时间内，就不会立刻干燥，在这种情况下，才有助于具体干湿画法的实践、运用。

水彩的透明特点需要被全面地观照、审视，主要着色程序是由浅至深，特定物体的受光面需要先画出来，紧接着再对其背光面进行绘画。只有这样才能够有效地表现水彩画的明调与暗调。最后，将特定物体颜色最深的细部完成。可以说水彩的表现方法，通常来说，主要分为干画法、湿画法以及干湿并用法。在中学美术教学中，我们提倡采用干湿并用法，即有的地方使用干画法，而有的地方则采用湿画法。这种方法易于被中学生接受，并且表现力相对较强。再者，我们可以有效利用湿画法来绘画每一个客观物象。

最后就是画面的整理、完善环节。局部独立物象的逐一绘画，这种罗列可能会导致整个画面的融合程度不足，进而容易产生层次方面的误差感，给观赏者一种拼凑的印象。鉴于此，教师必须指导学生进行画面的整体处理，旨在让每一个局部都被统摄到整个画面中去，成为一个部分分割的成分。例如前景特定物象应该是实的，需要在这个物象的主要部位，将轮廓线凸显。而后面的特定物象应该是虚的。较之前者，后者需要淡化其色彩和形体方面的处理，只有这样才能够创设出层次分明、立体感较强的画面效果。如果整个画面色彩显得有些乱，就应该在基调的范围内进行有效整理。如果整个画面较为单调的话，就应该将环境色恰当地融入其中，进而色彩的丰富感就可以被提升。

二、重要注意事项强调

在学生对范画的欣赏、感悟过程中，教师需要对每一张画，它的具体画法、运用色彩等方面进行全面而细致地解读，这样才能使得学生对水彩画的特点、画法有一个整体的了解和体认。同时，需要提醒学生：如果调色过多，就可能丧失水彩画明快、透明的风格特征。而且涂色需要争取一次性完成，至多不可以超过三次，涂色越多，整个画面就会变得更为脏乱。鉴于此，在涂色之前，教师必须讲清楚调色与控制画笔中水分的具体措施，并且让学生全面把握绘画所要使用的工具，只有充分熟悉工具的使用方法，才能谈及具体涂色过程的开展。

需要强化实践教学，即可以将学生带到大自然中去绘画。教师可以一边绘画，一边讲解，在此过程中，将特定物象的具体画法，普遍存在的问题以及解决问题的办法，一一告诉学生。教师的这种示范教学，不仅可以给予学生直观的感受，同时也让学生了解了具体的绘画方法，如何规避不该出现的失误。另外，对于学生的作品不足之处，教师需要给予亲自改正，这种教学方法会让学生的绘画技巧迅速提升的。

另外，教师也可以将水彩画的绘画技巧编成一系列的口诀，这样，学生记忆与掌握水彩画相关技法将会变得事半而功倍。

三、水彩画技法教学示例

这里以水彩风景写生为示例对象。在写生的起初，需要力求一次性完成天空的绘画，当整体基调确定之后，余下的景物色彩需要与之协调搭配。当天空的绘画尚未“风干”之前，需要立刻将远山，抑或者是远树勾画出来。这样就会使得它与天空叠加的部分自然融合，避免了分离之感的产生。这样就契合了远虚近实的绘画要求。

画每一个特定物象之时，需要从左到右刷一遍清水，因为室外的空气是比较干燥的，这样的环境下，如果不刷水，湿画法则难以为继。倒映在水中的树木和房屋需要在画纸湿条件下，立刻涂色，进而产生朦朦胧胧的倒影效果。待画面干了之后，在使用干画法，小心翼翼地在水面上画出几道波纹来，这样房屋和树木的倒影就显得愈加真实生动了。同时，水岸上的物象，需要使用干画法进行绘画，这样就会使得这些物象更为实在、凸显。进而与水中倒影构成鲜明的对比。

画面的主体部分需要着力进行刻画，进而让整个画面具有凝聚力。在让学生充分领悟水彩画技法的同时，还需要让学生懂得艺术地处理画面的空间。最后，也就是对整个画面进行整理，湿画法的缺陷在于使得画面显得很“碎”，因此需要在画面的色彩和层次方面进行整体的调整，这样，整个画面就会变得和谐统一了。

浅谈二次函数复习课的反思 篇3

关键词：新；序；巧；活

教学设计：（一）知识梳理（用多媒体打出）；（二）看一看（用几何画板演示抛物线的各种情形）；（三）想一想（典型例题分析）；（四）做一做（用学案练习题）。由于采用了学案的教学形式，并运用多媒体课件以及几何画板，课堂效率大为提高，并给学生的主体参与提供了可能。通过本节课的备课与教学，我受益匪浅，感受颇多：

一、课堂设计和选题突出“新”

课堂教学设计体现教师为主导、学生为主体的教学理念，采用学案的形式，“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，体现了课堂教学的新理念。教学中做到精选典例，选取有“问题串”的例题，打破单一题型对学生思维的阻碍，这更有利于培养学生的思维能力和创新精神。

二、练习题的安排突出“序”

前面的例题较为简单，后续练习则突出综合性。先易后难的习题训练满足了不同层次学生的学习需要，也符合学生知识学习的规律。本节课的两个例题思路和解法相同，既可以开拓学生的思维，又可以使学生掌握解决一类问题的方式方法。

三、解决问题的方法突出“巧”

建构主义学习理论认为，学生的学习不是被动地接受，而是一种主动探究与建构，表现在学生解决问题上，会根据自己对知识的理解，随个人经验、经历的不同而不同。本节课后一个大题的安排（有开放性）就是考虑到学生学习的差异。前面的填空题的条件和结论为后面大题的解决提供了方法上的引领，突出了教师对内容安排的巧妙设计。

四、视学习情况调整内容突出“活”

本节课是二次函数的复习课，既要给学生展示二次函数的完整知识复习，又要突出重点。为此，虚心倾听各位教师的建议，对教法和课件作了多次调整和修改。课堂上安排的10个练习题是从概念、图象、性质和综合应用等几个方面进行的。教学上真可谓“教学有法，教无定法”。学生的基础、学习习惯不尽相同，教师在不同情境中的发挥，才有了千姿百态的教学情境。本课最成功之处在于确定二次函数解析式的几个问题的分析。

总的来说，认真准备和不断完善，是本节复习示范课取得良好效果的主要原因。但教学也是一门令人遗憾的艺术，回想起来还有许多环节需要进一步改进和完善，比如教师和学生之间的配合不协调，怎样才能更好地兼顾师生双方的感受等。在实践中获得灵感，在交流中撞出智慧，在反思中调整思路，在坚持中取得进步。

如何搞好二次函数复习 篇4

二次函数这一部分蕴涵着丰富的数学思维, 如建模、数形结合等, 是培养学生阅读理解能力、信息迁移能力以及学生应用数学的意识和能力的良好前提。基础知识分以下几个方面的内容:

1. 图像的平移, y=ax2图像向上 (或向右) 平移m个单位得到y=a (x+m) 2的图像, 向上 (或向下) 平移k个单位得到y=a (x+m) 2+k的图像。

2. 把y=ax2+bx+c通过配方化为y=a (x2+m) +k。

3. 求出抛物线的顶点坐标, 对称轴方程, 最大 (小) 值、图像与坐标轴交点等。

4. 关于实际问题的函数, 求解析式时注意自变量的取值范围, 图像也要在自变量的取值范围内画。

5. 已知函数图像, 求a、b、c、a+b+c、a-b+c、2a-b、2a+b的符号。

二、函数建构

建构观应表述为“认识建构”, 属于认识论的范畴, 其主要观点是:人的认识本质是主体的构造过程, 人们通过自己的经验来构造对认识的理解。学生的学习活动作为一种特殊的认识活动。学习不是学生对教师所授予的知识的被动接受, 而是一个以其他已有的知识和经验为基础的主动建构过程, 这也是数学教育建构观的核心所在。通过教师的点拨与指导, 培养学生学习的兴趣, 激发学生的学习原动力。

例:我市大发服装厂, 前四个月的利润分别是10万元、11万元、12.2万元和13.66万元, 需要估测以后几个月的利润, 假如你是厂长, 将会采用什么办法, 通过计算, 预计5月份利润为多少万元。

解:经过引导分析建模:

①设直线解析式为y=kx+b

学生1:解得直线A B:y=x+9, D点的误差为0.65

学生2:解得直线A C:y=1.1x+8.9, D点的误差为0.35

学生3:解得直线BC:y=1.2x+8.6, D点的误差为0.25

②设经A、B、C的解析式为y=ax2+bx+c

学生4:解得抛物线解析式为 , D点的差为0.05。

教师引导学生比较上述4个模拟函数的优劣, 指出考虑到剩余点的误差最小, 又要考虑到趋势的可能性, 经过筛选, 学生普遍认为选用 比较接近客观实际。

因此, 当x=5时, y=2.5+3.5+9.2=15.2万元。

通过上述解答使学生进一步理解一次函数与二次函数的异同, 同时使他们体验到数学探索与发现的乐趣, 感受到数学的魅力。

三、结构变换

数学的结构变换主要表现在美妙的数、奇特的式、新颖和形和巧妙的解之中。尤其是函数, 它的数形结合、直观性、结构合理性、图案的对称性和新奇性, 更显示出数学的美学价值, 学生在解题的过程中, 能领略到数学的魅力而表现出满足、兴奋和快感, 从而产生学习的强烈欲望和动力, 而结构变换更体现出“山穷水尽疑无路, 柳暗花明又一村”的转机。

例1:抛物线y=x2-2m x+m 2-m+1 (m为实数) 与x轴有交点, 求距离原点最近的交点坐标P。

解:设点P的坐标为P (x, 0)

则y=x2-2m x+m 2-m+1=0

m 2- (2x+1) m+x2+1=0

∵m为实数, ∴x≥0

△=[- (2x+1) 2-4 (x2+1) ]=4x-3]≥0

四、综合提高

二次函数的综合类题目涉及知识点多、面广, 对此问题从多角度进行解释, 拓宽几何解释的广度, 可以使抽象的数学问题直观化、具体化, 有利于促进对问题的理解, 并借助几何直观, 为代数计算、推理、指明方向, 有利于对问题的全局考虑, 并对解法作出筛选, 为解题寻求简洁的思路。

例:如图1, ⊙O1与⊙O2外切于点O, 以直线O1O2为x轴, O为坐标原点, 建立平面直角坐标系, 在x轴上方的两圆的外公切线A B于⊙O1相切于点A, 与⊙O2相切于点B, 直线A B交y轴于点C。若O A=3√3, O B=3。

(1) 求经过O1、C、O2三点的抛物线解析式。

(2) 设直线y=kx+m与 (1) 中的抛物交于M、N两点, 若线段M N与y轴平分, 求K的值。

(3) 在 (2) 的条件下, 点D在y轴负半轴上。

若四边形M D N C是矩形, 求D的坐标。

二次函数复习教学反思 篇5

本节课重点是，结合图象分析二次函数的有关性质，查缺补漏，进一步理解掌握二次函数的基础知识。要想灵活应用基础知识解答二次函数问题   ，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，与生活实际密切联系，学生对生活中的“二次函数”感知颇浅，针对学生的认知特点，设计时做了如下思考：一、按知识发展与学生认知顺序，设计教学流程：首先通过复习本章的知识结构让学生从整体上掌握本章所学习的内容，从而才能在此基础上运用自如，如鱼得水；二、教学过程中注重引导学生对数学思想应用基础知识解答，然后小组进行交流讨论， 老师点评，起到很好的效果。这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和于探究，形成良好的学习品质。

数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，促使学生主动地学习，不断提高发现提出问题、分析问题和解决问题的能力；设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：（1）如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？（2）如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？ （3）如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？ （4） 培养学生合作学习的互助精神和独立解决问题的能力。

二次函数的教学 篇6

关键词：二次函数；问题情境；探索精神

一、创设问题情境，诱导学生探索

初中生一般都有好奇、求知的欲望，有动手、动脑的积极性，创设良好的问题情境是激励学生学习兴趣的源泉。

问题：你知道函数y=2x2、y=-2x2、y=■x2的图象是什么吗？请你画出来并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴。

全班分为四组，每组解决一个问题，独立思考7分钟后，每组派两名代表在黑板上合作完成自己的题目。合作中，可以互相发现问题，取长补短，可以互相依存，克服紧张、恐惧的心理。答完题后进行课堂评论，先由每组学生发表意见，评价本组答题情况，如果还有问题，再请其他组的学生回答，最后教师作出评价。这样，在探索过程中学生会养成自主学习的良好习惯，也培养了学生科学的探索精神。

二、小组合作交流，促进学生发现

解决上述问题后，教师引导学生在相关问题中排异取同，发现规律，形成概念，推出公式。让学生深入体会概念，掌握公式，请学生尝试归纳出二次函数y=ax2的性质。一般的，二次函数y=ax2的图象是 ，其顶点坐标是 ，对称轴是 ；当a>0时，开口向 ，当a<0时，开口向 。

当学生填完空后，请小组讨论，此时学生表现出极强的好奇心和求知欲。当讨论声音越来越小时，可以鼓励小组派代表发言，答对者加1分，将学生的争强好胜心理调整为解决问题的积极性，使每个学生踊跃发言，至此，课堂交流过程中学生参与率达100%。

三、科学设计练习，整体提高能力

练习是对知识的巩固，也是一种信息反馈。设计三组练习题，目的是帮助学生理解、掌握函数y=ax2的图象和性质，逐步融入数形结合思想。第一组练习题帮助学生直接领会二次函数y=ax2的性质；第二组练习题启发学生理解数形结合思想；第三组练习题利用数形结合思想，帮助学生进一步总结二次函数y=ax2的有关性质。

1.分别说出抛物线y=4x2与y=-■x2的开口方向、对称轴与顶点坐标。

2.已知二次函数y=ax2的图象，x1

3.每个组观察自己画的图象回答：

（1）在对称轴右边y随x的增大而____

（2）在对称轴左边y随x的增大而____

（3）函数有最大值或最小值吗？如果有，是多少？

一节课紧紧抓住知识的发生、发展过程展开教学活动。教师作为一名“导演”去诱导学生主动探索知识，发现规律，学生学到的不仅是一个结论，而且还学到了一种数学的研究思想，一种科学的探索精神。

（作者单位 河北省冀州市徐庄乡中学）

编辑 韩 晓

摘 要：“诱探发现教学法”对全面提高中学生数学能力具有较大的实践价值，教学设计符合数学教学实际和学生心理特征，具有较强的实用性和操作性，通过“二次函数y=ax2的图象和性质”的教学，谈了它的操作过程。

关键词：二次函数；问题情境；探索精神

一、创设问题情境，诱导学生探索

初中生一般都有好奇、求知的欲望，有动手、动脑的积极性，创设良好的问题情境是激励学生学习兴趣的源泉。

问题：你知道函数y=2x2、y=-2x2、y=■x2的图象是什么吗？请你画出来并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴。

全班分为四组，每组解决一个问题，独立思考7分钟后，每组派两名代表在黑板上合作完成自己的题目。合作中，可以互相发现问题，取长补短，可以互相依存，克服紧张、恐惧的心理。答完题后进行课堂评论，先由每组学生发表意见，评价本组答题情况，如果还有问题，再请其他组的学生回答，最后教师作出评价。这样，在探索过程中学生会养成自主学习的良好习惯，也培养了学生科学的探索精神。

二、小组合作交流，促进学生发现

解决上述问题后，教师引导学生在相关问题中排异取同，发现规律，形成概念，推出公式。让学生深入体会概念，掌握公式，请学生尝试归纳出二次函数y=ax2的性质。一般的，二次函数y=ax2的图象是 ，其顶点坐标是 ，对称轴是 ；当a>0时，开口向 ，当a<0时，开口向 。

当学生填完空后，请小组讨论，此时学生表现出极强的好奇心和求知欲。当讨论声音越来越小时，可以鼓励小组派代表发言，答对者加1分，将学生的争强好胜心理调整为解决问题的积极性，使每个学生踊跃发言，至此，课堂交流过程中学生参与率达100%。

三、科学设计练习，整体提高能力

练习是对知识的巩固，也是一种信息反馈。设计三组练习题，目的是帮助学生理解、掌握函数y=ax2的图象和性质，逐步融入数形结合思想。第一组练习题帮助学生直接领会二次函数y=ax2的性质；第二组练习题启发学生理解数形结合思想；第三组练习题利用数形结合思想，帮助学生进一步总结二次函数y=ax2的有关性质。

1.分别说出抛物线y=4x2与y=-■x2的开口方向、对称轴与顶点坐标。

2.已知二次函数y=ax2的图象，x1

3.每个组观察自己画的图象回答：

（1）在对称轴右边y随x的增大而____

（2）在对称轴左边y随x的增大而____

（3）函数有最大值或最小值吗？如果有，是多少？

一节课紧紧抓住知识的发生、发展过程展开教学活动。教师作为一名“导演”去诱导学生主动探索知识，发现规律，学生学到的不仅是一个结论，而且还学到了一种数学的研究思想，一种科学的探索精神。

（作者单位 河北省冀州市徐庄乡中学）

编辑 韩 晓

摘 要：“诱探发现教学法”对全面提高中学生数学能力具有较大的实践价值，教学设计符合数学教学实际和学生心理特征，具有较强的实用性和操作性，通过“二次函数y=ax2的图象和性质”的教学，谈了它的操作过程。

关键词：二次函数；问题情境；探索精神

一、创设问题情境，诱导学生探索

初中生一般都有好奇、求知的欲望，有动手、动脑的积极性，创设良好的问题情境是激励学生学习兴趣的源泉。

问题：你知道函数y=2x2、y=-2x2、y=■x2的图象是什么吗？请你画出来并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴。

全班分为四组，每组解决一个问题，独立思考7分钟后，每组派两名代表在黑板上合作完成自己的题目。合作中，可以互相发现问题，取长补短，可以互相依存，克服紧张、恐惧的心理。答完题后进行课堂评论，先由每组学生发表意见，评价本组答题情况，如果还有问题，再请其他组的学生回答，最后教师作出评价。这样，在探索过程中学生会养成自主学习的良好习惯，也培养了学生科学的探索精神。

二、小组合作交流，促进学生发现

解决上述问题后，教师引导学生在相关问题中排异取同，发现规律，形成概念，推出公式。让学生深入体会概念，掌握公式，请学生尝试归纳出二次函数y=ax2的性质。一般的，二次函数y=ax2的图象是 ，其顶点坐标是 ，对称轴是 ；当a>0时，开口向 ，当a<0时，开口向 。

当学生填完空后，请小组讨论，此时学生表现出极强的好奇心和求知欲。当讨论声音越来越小时，可以鼓励小组派代表发言，答对者加1分，将学生的争强好胜心理调整为解决问题的积极性，使每个学生踊跃发言，至此，课堂交流过程中学生参与率达100%。

三、科学设计练习，整体提高能力

练习是对知识的巩固，也是一种信息反馈。设计三组练习题，目的是帮助学生理解、掌握函数y=ax2的图象和性质，逐步融入数形结合思想。第一组练习题帮助学生直接领会二次函数y=ax2的性质；第二组练习题启发学生理解数形结合思想；第三组练习题利用数形结合思想，帮助学生进一步总结二次函数y=ax2的有关性质。

1.分别说出抛物线y=4x2与y=-■x2的开口方向、对称轴与顶点坐标。

2.已知二次函数y=ax2的图象，x1

3.每个组观察自己画的图象回答：

（1）在对称轴右边y随x的增大而____

（2）在对称轴左边y随x的增大而____

（3）函数有最大值或最小值吗？如果有，是多少？

一节课紧紧抓住知识的发生、发展过程展开教学活动。教师作为一名“导演”去诱导学生主动探索知识，发现规律，学生学到的不仅是一个结论，而且还学到了一种数学的研究思想，一种科学的探索精神。

（作者单位 河北省冀州市徐庄乡中学）

二次函数复习课教学有效性初探 篇7

一、二次函数图像与性质的复习

二次函数的复习课教学, 笔者主要从以下两个方面入手.一方面, 二次函数解析式已知情形.我们可以先从二次项系数的正负值, 研究抛物线的开口方向;从常数项研究抛物线与y轴的交点坐标; 从二次项系数与一次项系数研究抛物线的对称轴位置.再令y=0, 可以复习一元二次方程根的判别式, 得到抛物线与x轴的交点个数.如有交点, 还可通过解一元二次方程求出根, 进而求出交点坐标.最后, 还可以通过观察二次函数图像回答二次函数最值问题及一元二次不等式的解集等等, 数学思维层次较好的问题.另一方面, 二次函数解析式未知情形.可根据题目所给的已知条件, 先求其解析式.一般地, 关注抛物线上的某些特殊点是求其解析式的常用方法.比如, 抛物线的顶点坐标、抛物线与坐标轴交点坐标.如果没有特殊点, 那就考虑用定义法求其解析式.另外, 根据题目已知条件, 平移思想、旋转思想、对称思想等, 常常也是求未知抛物线解析式的一种重要路径.

二、二次函数与一次函数、反比例函数及自身的知识交汇复习

有了二次函数图像与性质的复习, 再进行与一次函数、反比例函数及自身的知识交汇的综合复习, 就容易让学生接受这部分初中数学中的重要知识点. 教学时一次函数及反比例函数解析式求法, 当然是首先需要重视的知识内容, 其次是二次函数与一次函数、反比例函数的图像与性质综合应用, 也是学好这部分知识的关键.

比如. (2014·莆田25) 如图, 抛物线C1:y= (x+m) 2 (m为常数, m>0) , 平移抛物线y=-x2, 使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图像上, 得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A, B两点 (点A在点B的左侧) , 交y轴于点C, 设点D的横坐标为a.

(1) 如图1, 若m=1/2.

(1) 当OC=2时, 求抛物线C2的解析式.

(2) 是否存在a, 使得线段BC上有一点P, 满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP? 若存在, 求出a的值;若不存在, 请说明理由.

(2) 如图2, 当时, 请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标 (用含m的式子表示) .

思路分析: (1) (1) 首先写出平移后, 含有未知数a的抛物线C2解析式, 然后利用点C (0, 2) 在C2上, 求出抛物线C2的解析式;

(2) 认真审题, 题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上, “点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形, 可利用三角函数 (或相似) , 求出a的值;

(2) 解题要点有3个:

i) 判定△ABD为等边三角形;

ii) 理论依据是角平分线的性质, 即角平分线上的点到角两边的距离相等;

iii) 满足条件的点有4个, 即△ABD形内1个 (内心) , 形外3个.注意不要漏解.

三、二次函数与三角形、四边形的知识交汇复习

常见的一个三角形, 以等腰三角形或直角三角形出现的题型居多.证明两个三角形全等、两个三角形相似.这里需要特别指出的是, 倘若两个三角形相似问题引入到二次函数之中, 那就使得整个初中主干数学知识融入二次函数中, 这样的试题要求学生有较深厚的初中数学基本功, 方能较好地解决.另外, 求某个三角形面积或多边形问题、或其最值问题也是最为常见试题.教学时, 分类讨论思想、数形结合思想等不可少.常见的四边形以特殊四边形为主. 平移的思想方法求点坐标不可忽略.二次函数图像中, 结合特殊四边形有关性质, 是数形结合思想方法在函数中的实际应用.例 (2015·莆田25) .抛物线y=ax2+bx+c, 若a, b, c满足b=a+c, 则称抛物线y=ax2+bx+c为 “恒定”抛物线.

(1) 求证:“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A.

(2) 已知 “恒定”抛物线的顶点为P, 与x轴另一个交点为B, 是否存在以Q为顶点, 与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线, 使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形?若存在, 求出抛物线解析式;若不存在, 请说明理由.

思路分析: (1) 首先把b=a+c代入抛物线y=ax2+bx+c后, 令y=0解关于x的方程.

(2) 认真审题, 题中条件 “AP=BP”意味着点P在对称轴上, “点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC.画出图形, 可利用三角函数 (或相似) , 求出a的值.

(2) 解题要点有3个:

i) 分类讨论思想, 即点C可能在点A的左侧, 也可能在点A的右侧;

ii) 两条抛物线的图像与性质要区别使用, 切不可混淆;

iii) 平行四边形性质与抛物线的性质相结合, 是做好本题的关键.

二次函数复习 篇8

一、课堂实录

(一) 基础知识之自我构建

师:本节课, 我跟同学们一起复习二次函数知识.请大家思考函数, 并写出相关结论.比一比, 赛一赛, 看谁写得多.

学生踊跃举手, 教师点名让两名学生在黑板上板演.

生1: (1) 开口向上; (2) 对称轴:x=2; (3) 顶点: (2, -1) .

生2: (1) 图像是抛物线, 且与y轴的交点为 (0, 3) ; (2) 抛物线与x轴的两交点分别为 (1, 0) 、 (3, 0) .

师:还有需要补充的结论吗?

师归纳:刚才同学们归纳的结论都正确, 但都不全面.将以上的结论综合, 就是我们前面学过的二次函数的基础知识.

接着教师投影展示二次函数的图像与性质.

师:下面老师提出的问题, 相信同学们一定能顺利地解决.

(二) 基础知识之基础演练

教师在投影幕上出示题目:

【必答题组一】

1.求将二次函数的图像向右平移1个单位, 再向上平移2个单位后得到图像的函数表达式.

2.请写出一个二次函数解析式, 使其图像与x轴的交点坐标为 (2, 0) 、 (-1, 0) .

3.请写出一个二次函数解析式, 使其图像与y轴的交点坐标为 (0, 2) , 且图像的对称轴在y轴的右侧.

(教师让学生思考3分钟, 然后回答问题.)

师:实际上, a只要取一个不等于0的任何实数即可.

教师投影展示用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤.

投影幕上再出示第4、5题.

【必答题组二】

4.抛物线形状如图1所示, 请判断下列各式的符号.

教师投影展示判断二次函数解析式中a、b、c符号的方法.

(三) 基础知识之灵活运用

投影幕上出示题目:

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

8.根据下列表格的对应值, 不解方程, 试判断方程一个解x的范围是 () .

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24

C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26

学生回答后教师总结:二次函数与一元二次方程之间的关系紧密, 解题中, 二次函数与一元二次方程经常“手拉手”, 请大家解题时注意数形结合思想的应用.

教师投影展示二次函数与一元二次方程的关系.

(四) 难点突破之思维激活

投影幕上出示一组题目:

10.已知抛物线经过点A (-2, 7) 、B (6, 7) 、C (3, -8) , 则该抛物线上纵坐标为-8的点另一坐标是____.

11.图4是抛物线的一部分, 且经过点 (-2, 0) , 则下列结论中正确的个数有 () .

1a<0;2b<0;3c>0;4抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是 (1, 0) ;5抛物线与x轴的另一个交点坐标可能是 (4, 0) .

A.2个B.3个C.4个D.5个

生:第9题, 由题意得, 由于两个方程中含有三个未知数, 故此方程不可解, 从而本题不好做.

师:同学们从抛物线的轴对称性入手, 想想看.

二、教学反思

(一) 课堂展示精彩的前提是要充分发挥课前预习的功能

这堂课的课堂容量很大, 但教者教学节奏把握非常好, 课堂教学如行云流水.课堂展示之所以精彩, 原因就在于学生课前做了充分的预习, 学生带着问题来听课, 带着自信来听课.

(二) 课堂展示要关注学生的差异

学生之间的差异是客观存在的.杨老师将学生进行分组, 好、中、差学生平均分配到各个学习小组.对待好生, 教师有意识地引导他们在解决基本练习后, 思考一些开放性试题或变式问题.对中等学生, 则更多地要引导其从对概念、定义、公式、公理的掌握到解决问题的过渡;训练内容强调基础性和应用性.对下层学生, 则主要采用填空题、仿例题类问题等来引导学生在训练中掌握基本概念、公式等基础内容.

(三) 课堂展示促进学生学习态度和学习方式的改变

二次函数复习 篇9

解法1因对称轴方程为.t=-I, 由已知条件知, 则2不可能都在-I的左边, 沂则y条件^丨rr, 所以h能作右边或一左一右.

第一种情况, 若u 2郎在-1的g边, 则根据二次函数的单调性, 就有/u, ) </u 2) .

第二种情况, 若.r, , ^在-1的一左一右, 则只能是x, 在-I的左边, 而.v2在-1的右边, 设A与_1的距离为I设x2与-I的距离为A^-/V=.t|<0, 所以A</V, 又因为抛物线的开口向上, 所以/ (A) </U 2) •

解法2 (特殊值法) 取.v, =-2, 心=2, 对照称轴方程为x=-丨, M然/U, ) </ (〜) •

变式已知函数/ (•!:) =似2+2似.+4 (0<«<3) •若弋<•H+.v2=1-, 则/ (.t, ) 与/ (>»:2) 的大小关系是__________•

解析取《=丨, 即转化为上一题.

比闲数值大小的解题策略:

其一, 根据已知条件确定对称轴, 并•求出相应的对称轴方程.函数的单调性、极值及函数值大小等与对称轴密切相关.在闭K M内, 二次函数的最值问题通过该阐数的单凋性可以确定, 而该函数的单调性, 又根据其对称轴位置 (在区间的右边、左边.还是IK间内) 及开口方向宋确定.如果尤法确定对称轴位置和开口方向, 则要进行分类讨论.

其二, Ml以采用特值法, 即特殊值代入•可以将题目中的某一个未知M•设为较特殊的值, 以降低解题难度•该方法在选择题中比较适用•注意在代人特殊值时, 切不町以偏概全, 要力求全面、恰当.

其=, 转化法.可以将“比较函数值大小”这类问题转化为针对对两个或几个丨:彳变挞间关系的研究问题.继而转换成对变量和对称轴之间距离的研究.

此外, 分类讨论非常®要.要做到不重复、不漏掉任何情况.对K间固定、对称轴不确定的题型, 可以先进行配方, 接着根据对称轴的位置与定义域区间的关系来讨论•对区间不固定、对称轴确定的题型, 可以先求出蚋数的开口方向、对称轴, 进而分析在不N期叫内的最消:状况.对丨^丨’"卜f间定、对称轴也不确定的题型, 可以宄找出该函数对称轴满足的条件, 进而确定对称轴方程, 在分祈定义域R间和对称轴的关系.

问题2若不等式a’+«a'+1為0对■一切a"e f〇, 了j成立, 则《的最小值为 () •

A.O B.-2 C.—1) .-3a

解法1 (转换变M) 取/ («) =$.«+文2+I, 只需/ (〇) ^〇, j i y/j^o f ij«^.

解法2 (分离变置) , 同时在.v e (〇, 了j的范丨韦丨丨4的极小攸为十, 《的最小值为-夺.

变式若对任意的, 为正整数) , n2+ (fl.-2) n+I+«>0恒成立, 求《的取值范围.

略解:分离变量.

提示要求无论《取何值, 该式恒大于〇, 即在最低点该式大于0.而该式开口向上, 可知M低点即为二次喊数的顶点.

求变a范阇的解题策略:

其一, 如果在变ti•所处范m内有两个端点, 则可以将二次函数转化成一次函数 (即进行变M•转换) 或分离变M.

其二, 如果在变敁所处范W内冇一个端点.可以考虑分离变M.

问题3设/ (•'.) =+c, 若ft+6+«•=0, / (0) >0, / (1) > () , 求证:

(l) a>0且-2〈上<-I; (I

(2) 函数/ (a:) 在 (0, 丨) 内有几个零点?说明你的理由•

解析 (I) 由已知, 有c>0, 3«+2/;十r>0, 由条件a+6+c=0, 消去/», 得《>f>0•

由条件《+6+c= () , 消去c, 得《+fc<0, 2h+6>0, 乂已

“二次函数”测试卷 篇10

1. 抛物线y=(x-1)2-3的对称轴是().

A. y轴B. 直线x=-1C. 直线x=1D. 直线x=-3

2. 把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是().

A.y=x2+2 B.y=x2-2 C.y=(x+2)2+2 D.y=(x+2)2-2

3. 已知二次函数的图像过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是().

A.y=x2-3x+2 B.y=x2+3x+2 C.y=x2-2x+3 D.y=2x2+x+2

4. 已知抛物线y =x2-x -1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m +2014的值为().

A.2012 B.2013 C.2014 D.2015

5.二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图像一定过点().

A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1,-1)D.(-1,1)

6. 若函数y=mx2+(m+2)x+1/2m+1的图像与x轴只有一个交点,那么m的值为().

A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0,2或-2

7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图像如图,关于该二次函数,下列说法错误的是().

A. 函数有最小值

B.对称轴是直线x=1/2

C.当x<1/2时,y随x的增大而减小

D. 当-1<x<2时,y>0

8. 如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图像中能表示y与x之间的函数关系的是().

二、填空题

9. 若函数y=(m-3)xm2+2m-13是二次函数,则m=_______.

10.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是_______.

11. 二次函数y=(k+1)x2的图像如图所示,则k的取值范围为_______.

12. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=________.

13. 对称轴平行于y轴的抛物线经过(1,-5),(3,-5)两点,则它的对称轴为直线________.

14. 已知二次函数y=x2+2kx+k2+k-2的图像的顶点在x轴上,则该函数的顶点坐标是________.

15. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P (4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为________.

16. 已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:

则当y<5时,x的取值范围是________.

17. 如图,某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面4 m的高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,则校门的高度为_______ m.(精确到0.1 m,水泥建筑物厚度忽略不计)

18. 在平面直角坐标系中,函数y=x2-2x(x≥0)的图像为C1,C1关于原点对称的图像为C2,则直线y=a(a为常数)与C1、C2的交点共有_______________个.

三、解答题

19. 已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-2).求该抛物线的表达式,并写出其对称轴.

20. 如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).

(1)求m的值和抛物线的关系式;

(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案).

21.已知抛物线的解析式为y=x2-(2m-1)x+m2-m.

(1)求证:此抛物线与x轴必有两个不同的交点;

(2)若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y轴上,求m的值.

22. 如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,31/2),以点C为顶点的抛物线y= ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点.

(1)求A,B,C三点的坐标;

(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;

(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式, 并指出平移了多少个单位?

23. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天可销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.设销售价为x(元/箱).

(1)平均每天销售量是多少箱?(用含x的代数式表示)

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.

(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

24. 杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一个点)的路线是抛物线y=-3/5x2+3x+1的一部分,如图所示.

(1)求演员弹跳离地面的最大高度;

(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?说明理由.

25. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,-3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数解析式;

(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP′C.是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

参考答案

1. C 2. B 3. A 4. D 5. B 6. D 7. D 8. A

9. -5 10.(1,2) 11. k>-112. a(1+x)213. x=214.(-2,0) 15. 0 16. 0<x<4 17. 9.1 18. 1个或2个或3个

19.抛物线的表达式为:y=x2-x-2,对称轴为直线x=1/2.

20.(1)m的值为-1,二次函数的关系式为y=x2-3x+2;(2)x<1或x>3.

21.(1)可证明:b2-4ac=1>0;(2)m2-m=-3m+4,解得m1=-1+51/2,m2=-1-51/2.

23. (1) -3x +240;(2) w =(x -40)(-3x +240)=-3x2+360x -9 600;(3) w =-3x2+360x-9 600,当x=-b/2a=60时,w有最大值,又∵当x<60时,w随x的增大而增大,∴当x=55元时,w的最大值为1 125元.

∴当每箱苹果的销售价为55元时,可以获得1 125元的最大利润.

24.(1),故函数的最大值是19/4,跳离地面的最大高度是19/419/4米.

(2)当x=4时,y=3.4=BC,即点B在抛物线y=-3/5x2+3x+1上. ∴这次表演成功.

25.(1)解析式为y=x2-2x-3.

(2)如图1,假设抛物线上存在点P,连接PP′交CO于点E.∴PC=PO,且PE⊥CO.∴OE=EC=3/2,即P点的纵坐标为-3/2.

所以存在这样的点,此时P点的坐标为.

(3)如图2,连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.设P点坐标为(x,x2-2x-3),