常见函数

常见函数（精选十篇）

常见函数 篇1

一、定义法

由函数值域的定义知道,值域上对应于函数定义域的函数值的集合,因而在考查函数结构的基础上,从定义域出发,可以逐步地推断出函数的值域.

二、观察法

观察法是最简单的求函数值域的方法,此法适用于那些形式比较简单的函数,例如对于函数,显然其值域为y∈(-∞,0)∪(0,+∞).

此法是求函数值域最基本的方法,对于其他形式复杂的函数,也可通过施加变换,最终化成形式简单的函数,从而应用此法求得.

三、分离常数法

此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数,或能够化成上述形式的函数,即形如的函数.解决的办法是通过添项或减项,在分子中分解出与分母相同的式子,约分后应用观察法即可得函数的值域.

【例1】对于函数,利用恒等变形,得到:

容易观察得出此函数的值域为

四、配方法

对于二次函数,可利用配方法求解其值域,对于与二次函数复合而成的函数,可尝试对二次函数进行配方,进而利用与其复合的函数的性质求其值域.

【例2】求函数y=e-x2+4x-3的值域.

解析:此题可以看做是y=eu和u=-x2+4x-3两个函数复合而成的函数,对u配方可得:u=-(x-2)2+1,得到函数u的最大值为1,再根据y=eu得到y为增函数且y>0,故函数y=e-x2+4x-3的值域为:y∈(0,e].

五、判别式法

此法适用于二次分式形式的函数,尤其适用于分母为二次多项式的函数,解决的办法是先将函数化成方程,即隐函数f(x,y)=0的形式,再利用一元二次方程的理论求解问题.

【例3】求函数的值域．

解析:先将此函数化成隐函数的形式得:

这是一个关于x的一元二次方程,原函数有定义,等价于此方程有解,即方程(1)的判别式Δ=(2y-1)2-4y(2y-1)≥0,解得:.

故原函数的值域为:.

六、基本不等式法

利用基本不等式a2+b2≥2ab和是求函数值域的常用技巧之一,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取“=”成立的条件.

【例4】求函数的值域．

解析:,当且仅当x=1时“=”成立.故函数的值域为y∈[2,+∞).

此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中解二次不等式的过程.

七、换元法

利用换元改变了原函数表达式的“面貌”,使原来性质不明显的函数变得清晰,从而易于求得原函数的值域.运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.

【例5】求函数的值域.

分析:若设

由于t∈[0,+∞),故y∈[-∞,1).

八、反函数法

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.

【例6】求函数的值域．

解答:对于此题,我们可尝试用反函数方法来求解.

先证明有反函数，为此，设x1<x2且x1,x2∈R,

所以y为减函数,存在反函数.可以求得其反函数为:.此函数的定义域为x∈(-1,1),故原函数的值域为y∈(-1,1).

其实,此题也可以用分离常数法来解,这里就不再冗述了.

九、图像法

对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域.

【例7】求函数y=|x-1|+|x-3|的值域.

分析:此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.

在对应的区间内,画出此函数的图像,如图1所示,易得出函数的值域为[2,+∞).

十、单调性法

当函数f(x)在(a,b)上单调,譬如f(x)在(a,b)上递增时,自然有函数f(x)在(a,b)上的值域为(f(a+0),f(b-0))(其中f(a+0)=xli→am+f(x),f(b-0)=xli→bm-f(x),当x→a+时,f(x)→±∞也称其存在,记为f(a+0);若f(x)在(a,b)上递减,函数f(x)在(a,b)上的值域为(f(b-0),f(a+0)).在闭区间[a,b]上也有相应的结论.

【例8】求函数的值域.

分析:此题可以看作也是单调递增函数.而此函数的定义域为[-2,8].y=槡3x+6-槡8-x

求函数的值域常见类型 篇2

（1）观察法、直接法、配方法、换元法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数ylog1(x22x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y2x133的值域[,] x22x222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 x242cosx3的值域，因为 cosx1

（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如yx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0)(0,4],求值x（9）对勾函数法 像y=x+

域

（2）如 yx4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）x4，1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x

例1．

1、已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

2、已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。

例2． 设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为

x22xa例

三类基本初等函数常见误区 篇3

例1解关于[x]的不等式:[ax2-x<1(a>0且a≠1)].

错解不等式可化为[ax2-x

[∴x2-x<0,∴0

分析解此不等式需要利用指数函数[y=ax]的单调性，而[y=ax]的单调性与底数[a]有关：当[a>1]时在[(-∞,+∞)]上为增函数；当[01]与[0

正解当[a>1]时，不等式可化为[x2-x<0,∴00,∴x<0或x>1].

点拨一般地，当出现了指数形式的函数时，如果需要利用指数函数的单调性解题，那么当底数不确定时，一般都要分[a>1]与[00且a≠1)]，由于它的单调性也与底数[a]有关：当[a>1]时，在[(0,+∞)]上为增函数；当[01]与[0

2. 忽略对数的真数为正的限制

例2解关于[x]的不等式：[log3(x+1)+log3(x-1)>1].

错解原不等式可变形为

[log3(x2-1)>log33]，

[∴x2-1>3,∴x>2或x<-2].

分析解此不等式利用了对数的运算性质:[logaM+logaN=logaMN],但是，该运算性质有一个大前提，那就是[M>0,N>0]，即 “对数的真数要大于零”，所以在变形之前应该首先保证两个对数的真数要大于零，然后才能变形.

正解原不等式可化为[x+1>0x-1>0x2-1>3]，解得[x>2]，所以原不等式的解集为[{x|x>2}.]

点拨当遇到需要利用对数的运算性质进行变形时，由于对数要求真数必须要大于零，所以在作变形前，首先就要保证所有的真数都大于零，才可以利用对数的运算性质来进行变形化简. 又比如解不等式[2log2(x-4)0且x-2>0.]同样地，当遇到对数形式的函数时，由于对数函数[y=logax(a>0且a≠1)]要求真数[x]必须大于零才有意义，所以函数表达式中只要出现了对数形式，就必须保证真数大于零，或者说在遇到对数形式的函数时，一定要注意函数的定义域.

3. 忽略“当[x∈R]时，[ax>0(a>0且a≠1)]”这一隐含条件

例3求函数[y=2x-12x+1]的值域.

错解[y=2x+1-22x+1=1-22x+1]，

所以[y∈R且y≠1].

分析本题要用到指数函数[y=ax]的值域，而指数函数[y=ax]当[x∈R]时的值域为[(0,+∞)]，即[ax][>0].本题没有注意到[2x>0]这一隐含条件.

正解[∵2x>0]，

[∴2x+1>1,0<22x+1<2,∴y∈(-1,1)].

点拨当遇到含[ax]的式子求取值范围时，一定要注意[ax][>0]这一隐含条件.

4. 作图不准确导致的错误

例4讨论关于[x]的方程[3x-1=k]的解的个数.

错解（数形结合）作出函数[y=3x-1与y=k]的图象，如图所示，观察图象可知：当[k<0]时无解；当[k=0]时有一解；当[k>0]时有两解.

分析本题作图要利用指数函数[y=3x]的图象，因为[y=3x-1]的图象可以由以下变换得到：先将[y=3x]的图象向下平移一个单位，得到[y=3x-1]的图象，再将其[x]轴下方的图象对称到[x]轴上方而得到[y=3x-1]的图象.注意到[y=3x]当[x]无限趋向于[-∞]时，[3x]无限趋向于0且总大于0，而当[x]无限趋向于[+∞]时，[3x]也无限趋向于[+∞]，即[y=3x]的图象恒在[x]轴上方，且向左无限接近于[x]轴，向右无限远离[x]轴，所以[y=3x-1]的图象恒在直线[y=-1]的上方，且向左无限接近于直线[y=-1]，向右无限远离直线[y=-1]. 从而[y=3x-1]当[x<0时]的图象恒在直线[y=1]的下方，且向左无限接近于直线[y=1]；当[x>0时]向右无限远离直线[y=1]. 如图所示，即直线[y=1]可以认为是该函数图象的一条渐近线，而本题没有注意到这一图象特征.

正解（数形结合）作出函数[y=3x-1与y=k]的图象，如图所示，观察图象可知：当[k<0]时无解；当[k=0]或[k≥1]时，有一解；当[0

点拨当遇到需要利用指数函数或对数函数的图象进行作图或者图象变换时，一定要注意指数函数与对数函数的图象特征：指数函数[y=ax]的图象恒在[x]轴上方，且当[a>1时]，向左无限接近于[x]轴，向右无限远离[x]轴；当[0

例5判断关于[x]的方程[2x=x2]的解的个数.

错解（数形结合）作出函数[y=2x]与[y=x2]的图象，如图所示，观察图象可知交点有两个，所以有两个解.

分析本题作图需要知道[y=2x]与[y=x2]这两个函数图象的变化趋势及变化快慢情况. 通过列表计算可知，当[x]>0时，随着[x]的增大，[2x]与[x2]都在增大，但是[2x]比[x2]增大得要快，所以在第二个交点的右边一定还存在一个[x0]，使得当[x>x0]时，都有[2x>x2]，从而[y=2x]的图象与[y=x2]的图象在第二个交点的右边一定还存在一个交点，所以共有三个.

正解（数形结合）作出函数[y=2x]与[y=x2]的图象，如图所示，观察图象可知，在[y]轴左侧有一个交点，在[y]轴右侧有两个交点（2,4）和（4,16），从而有三个解.

点拨当遇到指数函数、对数函数和幂函数在同一个坐标系中作图时，一定要注意这三个函数的变化趋势及变化快慢情况.一般地，在区间[（0，+∞）]上，尽管指数函数[y=ax(a>1)]、对数函数[y=logax(a>1)]和幂函数[y=xn(n>0）]都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着[x]的增大，[y=ax(a>1)]的增长速度越来越快，会超过并远远大于[y=xn(n>0）]的增长速度，而[y=logax(a>1)]的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个[x0]，当[x>x0]时，有[logax

5. 幂函数中容易出错的情形

例6已知幂函数[y=(m2-3m+3)xm2-m-2]的图象不过原点，求[m]的取值范围.

错解依题意，[m2-m-2≤0]，解得[-1≤m≤2.]

分析本题需要利用幂函数的概念，幂函数的定义是：函数[y=xα][(α是常数）]叫做幂函数.显然，由定义，幂函数的特征是以幂的底数为自变量，指数为常数，[xα]前面的系数为1. 本题没有注意到“系数为1”这一特征.

正解依题意，[m2-3m+3=1m2-m-2≤0]，解得[m=1]或[m=2.]

点拨涉及到指数函数、对数函数、幂函数的概念题，一定要紧扣概念.其中，指数函数是形如[y=ax(a>0且a≠1)]的函数，对数函数是形如[y=logax(a>0且a≠1)]的函数.

例7解关于[x]的不等式：[(x+1)-13<(3-2x)-13].

错解1[∵y=x-13是]减函数，

[∴x+1>3-2x,∴x>23].

错解2[∵y=x-13]在[(0,+∞)]和[(-∞,0)]上都是减函数，[∴x+1>3-2x>0]或[0>x+1>3-2x]，解得[23

分析本题需要用到幂函数[y=x-13是]的单调性.“错解1”错在 “[y=x-13是]在[(0,+∞)]和[(-∞,0)]上都是减函数，但在[(-∞,0)⋃(0,+∞)]上并不是减函数”，“错解2”错在考虑不全面，少了“[x+1<0<3-2x]”的情况.

正解原不等可化为[∴x+1>3-2x>0]或[0>x+][1>3-2x]或[x+1<0<3-2x]，解得[23

二次函数常见考点探究 篇4

考点一二次函数的概念

例1 (2015·兰州) 下列函数解析式中, 一定为二次函数的是 () .

A.y=3x+1 B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+1/x

【解析】二次函数, 是指形如y=ax2+bx+c的函数, 其中a, b, c都是常数, 且a≠0.

A项是一次函数, B项必须要求a≠0, C项正确, D项错误, 因为二次函数必须是整式函数.

【点评】本题考查二次函数概念, 要紧扣概念形式和牢记限定条件, 同时注意二次函数解析式两边都是整式.

考点二二次函数的图像和性质

例2 (2015·泰安) 某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图像时, 列出了下面的表格:

由于粗心, 他算错了其中一个y值, 则这个错误的数值是 () .

A. -11B. -2C. 1D. -5

【解析】本题主要考查二次函数的图像对称性, 根据关于对称轴对称的自变量所对应的函数值相等可以得到答案.

根据二次函数图像的对称性, 初步判断点 (-1, -2) , (0, 1) , (1, -2) 在函数图像上, 把三个点坐标代入y=ax2+bx+c得到关于a, b, c的三元一次方程组, 解得函数解析式为y=-3x2+1, 当x=2时y=-11, 所以选D项.

【点评】利用函数图像关于对称轴对称是解题关键, 同时也考查了待定系数法求函数解析式.

例3 (2015·常州) 已知二次函数y=x2+ (m-1) x+1, 当x>1时, y随x的增大而增大, 则m的取值范围是 () .

A. m=-1B. m=3

C. m≤-1D. m≥-1

【解析】本题主要考查二次函数的增减性, 根据图像开口向上, 可知在对称轴右侧, y随x的增大而增大.

因为此二次函数图像的对称轴为, 解得m≥-1, 故选D.

【点评】熟记函数图像增减性, 正确列出不等式是解题关键.

考点三二次函数的图像和系数a, b, c的关系

例4 (2015·遂宁) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像如图1所示, 下列结论:①2a+b>0;②abc<0;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤4a-2b+c<0, 其中正确的个数是 () .

A. 2B. 3C. 4D. 5

【解析】本题考查函数图像和系数a, b, c的关系.

(1) 由抛物线开口向下得到a<0, 由对称轴在x=1的右侧得到, 利用不等式的性质得到2a+b>0, 故①正确;

(2) 由a<0, 对称轴在y轴的右侧, a与b异号, 得到b>0, 抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c<0, 于是abc>0, 故②错误;

(3) 抛物线与x轴有两个交点, 所以Δ=b2-4ac>0, 故③正确;

(4) 由x=1时, y>0, 可得a+b+c>0, 故④错误;

(5) 由x=-2时, y<0, 可得4a-2b+c<0, 故⑤正确.

综上所述正确结论个数有3个, 故选B项.

【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像, a>0, 开口向上, a<0, 开口向下;对称轴为直线, a与b同号, 对称轴在y轴的左侧, a与b异号, 对称轴在y轴的右侧;当c>0时, 抛物线与y轴的交点在x轴的上方;当c<0时, 抛物线与y轴的交点在x轴的下方;当Δ=b2-4ac>0时, 抛物线与x轴有两个交点.

考点四二次函数图像与几何变换

例5 (2015·龙岩) 抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是________.

【解析】根据旋转的性质, 可得a的绝对值不变, 根据中心对称, 可得答案.

将y=2x2-4x+3化为顶点式, 得y=2 (x-1) 2+1, 可知顶点坐标是 (1, 1) , 求抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线, 关键要确定旋转后所得抛物线的顶点和开口方向.旋转后的抛物线开口方向与原来相反即开口向下, 开口大小不变, 故二次项系数为-2, 而顶点变为 (-1, -1) .所得的抛物线的解析式是y=-2 (x+1) 2-1, 化为一般式, 得y=-2x2-4x-3, 故答案为:y=-2x2-4x-3.

【点评】本题考查了二次函数图像与几何变换, 利用了中心对称的性质, 注意抓住关键点的变化.

考点五二次函数的应用

例6 (2015·朝阳) 一个足球被从地面向上踢出, 它距地面的高度h (m) 与足球被踢出后经过的时间t (s) 之间具有函数关系h=at2+19.6t, 已知足球被踢出后经过4 s落地, 则足球距地面的最大高度是______m.

【解析】首先由题意得:t=4时, h=0, 然后再代入函数关系h=at2+19.6t可得a的值, 再利用函数解析式计算出h的最大值即可.

由题意得:t=4时, h=0, 因此0=16a+19.6×4, 解得:a=-4.9,

∴函数关系为h=-4.9t2+19.6t, 足球距离地面最大高度为:

故答案为:19.6.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用, 关键是正确确定函数解析式, 把最大高度问题转化为函数图像的顶点纵坐标来求.

考点六二次函数与方程, 不等式

例7 (2015·苏州) 若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点 (2, 0) 且平行于y轴的直线, 则关于x的方程x2+bx=5的解为 () .

A.x1=0, x2=4 B.x1=1, x2=5

C.x1=1, x2=-5 D.x1=-1, x2=5

【解析】本题是二次函数和一元二次方程的综合, 考查二次函数的性质和解一元二次方程.

根据题意得对称轴是直线x=2, 所以得b=-4, 把b=-4代入到x2+bx=5, 得方程为x2-4x=5, 解得x1=-1, x2=5, 故选D项.

例8 (2015·柳州) 如图2, 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于 (-2, 0) 和 (4, 0) 两点, 当ax2+bx+c>0时, x的取值范围是 () .

A.x<-2 B.-2<x<4

C.x>0 D.x>4

【解析】本题考查二次函数与不等式, 根据函数图像确定使y>0成立的自变量x的取值范围.

根据函数图像, 二次函数值大于0部分的图像位于x轴上方, 所对应的自变量x的取值范围是-2<x<4, 故选B项.

求函数的值域的常见方法 篇5

王远征

深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xR，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2． 求函数y1

x5的值域。2x1x分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。由y1

x5x2，得：x21因为20，所以y404y1，1y

值域为：y|4y1

三、函数的单调性

例3．求函数yx1在区间x0,上的值域。x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x

2x2，所以：x1x20,x1x20，当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

在区间x0,上的值域为[2,)。x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，又f

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

ytt821t28t21t45，9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt1

2当t0时，tmax102201 所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，2cos，因为2x5022cos201cos1，[0,]，则2x5=2sin，于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，4444



2

sin1，所以：52y7。24

五、配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如Fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

xbfxc，2xx23的值域。

(x1)24，于是：

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x

4例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6，分析与解答：由y配方得：yx2xxx14

1x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

当

六、判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x

3例10．求函数y的值域。

2xx

113

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

y2x2y2xy30（1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xR，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

所以2y

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,bR求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x

2x230x646

4x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

2x2

x2

6464,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464)2x2()16，x2x2

64,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12．如例4求函数yxx的值域。

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy，22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxOD所以：值域为2y2

2；

2OC

2

2。

九．利用函数的有界性：形如sinf(y),x2g(y),sin1,x20可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x1

例．求函数yx的值域

21

[解析]：函数的有界性

2x1y1由yx得2x

y121

220,

y1

对常见的一类抽象函数的探究 篇6

一、特性探究

Ⅰ.f(x+a)=f(x+b)(a≠b)类

【探究1】 令x+a=t,则x=t-a,x+b=t+(b-a),∴f(t)=f［t+(b-a)］,即:f(x)=f［x+(b-a)］,∵a≠b,∴b-a≠0,由周期函数的定义:若函数f(x)满足f(x+T)=f(x)(T为非0常数),则称函数f(x)是以T为周期的周期函数,可知:函数f(x)是以b-a为周期的周期函数.

Ⅱ.f(x+a)=-f(x+b)(a≠b)类

【探究2】 令x+a=t,则x=t-a,x+b=t+(b-a),

∴f(t)=-f［t+(b-a)］,∴f(x)=-f［x+(b-a)］,即f［x+(b-a)］=-f(x),

∴f［x+2(b-a)］=f{［x+(b-a)］+(b-a)}=-f［x+(b-a)］=-［-f(x)］=f(x),

即f［x+2(b-a)］=f(x),故函数f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.

正余弦函数常见题型解析 篇7

(1) f (x) 的对称轴方程;

(2) f (x) 的单调递增区间.

所以函数f (x) 对称轴方程为

注“化一”后若出现x的系数小于零的情形, 为了使思维更顺畅, 减少失误, 最好先利用诱导公式 (本题中利用的是sin (-α) =-sinα) , 将其转化为大于零的情形.

所以|a-b|=2.

也可用换元法求解.

(1) 求ω和φ的值;

设函数f (x) 的最小正周期为T, 因为其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π,

注对于第 (2) 问, 还应该注意两种另外描述:

由此可见, 关于方程或不等式“有解 (存在性) 问题”和“恒成立 (任意性) 问题”, 其本质是求相关函数的值域 (最值) .

(1) 求函数f (x) 的值域;

又因为当k=1时, 由 (1) 得

函数解析式的常见求法 篇8

一、待定系数法

适用范围:在已知函数解析式的构造时, 可用待定系数法。

基本步骤:设出函数的一般式 (或顶点式等) , 代入已知条件, 通过解方程 (组) 确定未知系数。

例1.已知f (x) 是一次函数, 且f[f (x) ]=9x+8, 求f (x) 。

解:因为f (x) 是一次函数, 可设f (x) =ax+b.

则f[f (x) ]=af (x) +b=a (ax+b) +b=a2x+ab+b=9x+8

二、配凑法

适用范围:已知复合函数f[g (x) ]的表达式, 求f (x) 的解析式, 当f[g (x) ]的表达式容易配成g (x) 的运算形式时, 常用配凑法。但要注意, 所求函数f (x) 的定义域不是原复合函数的定义域, 而是g (x) 的值域。

三、换元法

适用范围:已知复合函数f[g (x) ]的表达式, 求f (x) 的解析式, 当f[g (x) ]的表达式容易配成g (x) 的运算形式时, 还可以用换元法求f (x) 的解析式。与配凑法一样, 要注意所换元的定义域的变化。

例2.已知f (x+1) =x2-2x, 求f (x) .

解:配凑法:f (x+1) = (x+1) 2-2x-1-2x

换元法:令x+1=t, 则x=t-1,

四、代入法

适用范围:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时, 一般用代入法。

例3.已知:函数y=x2+x与y=g (x) 的图象关于点 (-2, 3) 对称, 求g (x) 的解析式。

解:设M (x, y) 为y=g (x) 上任一点, 且M′ (x′, y′) 为M (x, y) 关于点 (-2, 3) 的对称点

五、构造方程组法

适用范围:若已知的函数关系较为抽象简约, 则可以对变量进行置换, 设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。

例4.设f (x) 为偶函数, g (x) 为奇函数, 又f (x) +g (x) =1/ (x-1) 试求的解析式。

六、实际应用问题

例5.把长为a的铁丝折成矩形, 设矩形的一边长为x, 面积为S, 求矩形面积S与一边长x的函数关系式。

说明:解决实际问题时, 在求出函数解析式后, 一定要写出定义域。

高中三角函数问题常见错题解析 篇9

一、忽视具体函数值的制约致错

例题:已知sinα/2=3/5,cosα/2=-4/5,试确定α所在象限.

错解:由sinα/2=3/5>0,cosα/2=-4/5<0可知α/2为第二象限角.

即2kπ+π/2<α/2<2kπ+π (k∈Z), 从而4kπ+π<α<4kπ+2π(k∈Z),故α为第三或第四象限或终边在y轴负半轴上的角.

错解分析:推出α/2是第二象限角是正确的,但这只需由sinα/2>0,cosα/2<0即可确定 , 而题中sinα/2=3/5,cosα/2=-4/5不仅给出了符号,而且给出了具体的函数值,通过其值可进一步缩小α/2所在区间.

二、忽视角的范围致错

错解分析:由于tanα=5/12>0,因此α可能是第一象限的角 ,也可能是第三象限的角,因此,利用平方关系求cosα开方时,根号前面应取“±”号.

三、求角时,选择三角函数不当致错

∴A+B=π/4或A+B=3/4π.

错解分析:由于0<A<π/2,0<B<π/2,因此0<A+B<π.又由于A、B都是唯一确定的 , 因此A+B只能有一个值. 因有0<A+B<π,计算正弦值就无法区分出A+B是锐角还是钝角 ,从而造成错误.

四、忽视三角形内角的范围致错

五、没有抓住变换的对象致错

例题:把函数y=sin(5x-π/2)的图像向右平移π/4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的1/2倍,所得图像对应的函数解析式为( )

A.y=sin(10x-3/4π) B.y=sin(10x-7/2π)

C.y=sin(10x-π/2) D.y=sin(10x-7/4π)

错解一:将原函数图像向右平移π/4个单位长度,得y=sin(5x-π/4-π/2)=sin(5x-3/4π),再把横坐标缩短到原来的1/2倍,得y=sin(10x-3/4π),故选A.

错解二:将原函数图像向右平移π/4个单位长度,得y=sin[5(x-π/4-π/10)]=sin[5(x-7/20π)],再把横坐标缩短到原来的1/2倍,得y=sin(10-7/20π),故选B.

错解分析:这两种解法都是错误的,其原因在于没有抓住变换的对象.

错解一中,在平移变换时,把5x看成变换的对象;错解二中,在伸缩变换时,把5(x-7/20π)看成变换的对象.

正解 : 把原函数 图像向右 平移π/4个单位长 度 , 得y =sin [ 5 (x-π/4)-π/2]=sin(5x-7/4π),再把横坐标缩短到原来的1/2倍,得y=sin(10x-7/4π),故选D.

六、复合函数单调性规律理解不到位致错

例题:求函数y=sin(π/4-2x)的单调增区间.

错解:令μ=π/4-2x,则y=sinμ,而函数y=sinμ在区间 [2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上递增 ,整体代换得 :2kπ-π/2≤π/4-2x≤2kπ+π/2(k∈Z).

解得:-kπ-π/8≤x≤-kπ+3/8π(k∈Z).由于k表示的是周期的整数倍,因此可写为:kπ-π/8≤x≤kπ+3/8π(k∈Z),

即所求的单调递增区间为[kπ-π/8,kπ+3/8π](k∈Z).

错解分析:要全面地根据内、外层函数y=sinμ的单调性确定复合函数的单调性或单调区间.

正解 :令μ=π/4-2x , 则内函数 μ是关于x的减函数 , 那么所求复合函数的单调增区间即要取外函数的单调减区间求解.

高考三角函数常见错误举隅 篇10

一、错用“辅助角”

在历年高考试题中,有很多题目经过恒等变换转化成y=Asin(ax + φ)(φ > 0,|φ| < 2π)的形式 ,由于考生对“两角和与差的正弦和余弦公式”的错用(或疏忽),经常把“辅助角φ”的值弄错,导致失分.

例1 (2014天津卷15题)

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求f(x)在区间[-π/4,π/4]上的最大值和最小值.

故函数最小正周期为π,在区间[ -π/4,π/4]最大值为1/4,最小值为-1/2.

上述变换的四个形式其结果是统一的,考生们往往只重视第一种形式,且容易错写成1/2sin( 2x +π/6)或1/2sin( 2x -π/6)或1/2sin( 2x +π/3的形式,从而使结果错误,导致失分.

二、图像变换中的错误

高考试题中经常出现“图像变换”问题,由于学生不清楚由y = sin x的图像变换得到y = sin (ax + φ)(φ > 0,|φ|<π/2)的图像的过程而导致失分.

例2 (2014四川卷3)为了得到函数y = sin(2x + 1)的图像,只需把函数y = sin2x的图像上的所有点.

A. 向左平行移动1/2个单位长度

B. 向右平行移动1/2个单位长度

C. 向左平行移动1个单位长度

D. 向右平行移动1个单位长度

如按下面两个途径进行变换就不会出错

途径1:先平移变换后伸缩变换

此种变换是先将y = sin x的图像向右 (左) 平移|φ|个单位, 再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的1/φ倍,纵坐标不变. 从而得到y = sin(ax + φ)(φ > 0,|φ| <π/2)的图像.

途径2:先伸缩变换后平移变换

此种变换是先将y = sin x的图像上的所有点的横坐标变为原来的1φ倍纵坐标不变,再将所得图像向右(左)平移|φ|/φ个单位,从而得到y = sin(ax + φ)(φ > 0,|φ| <π/2)的图像.

此题应该走途径2,它已经进行了伸缩变换,我们只需进行平移变换. 故,正确选项为A.

有的考生忽略了由sin x到sin2x的伸缩变换 , 很容易选择C选项.

例3 (2014辽宁卷9)将函数y = 3sin 2x +π/3的图像向右平移π/2个单位长度,所得图像对应的函数是( ).

A. 在区间[π/12,7π/12]上单调递减

B. 在区间[π/12,7π/12]上单调递增

C. 在区间 [-π/6,π/3]上单调递减

D. 在区间 [-π/6,π/3]上单调递增

按题中要求,所求函数为y = 3sin[ 2 (x -π/2) +π/3]= 3sin(2x -2π/3) , 故正确选项为B.(此题也可用逆向思维的方法求解. )

如果考生忽略了伸缩变换的实质, 也就是错误地把2x当成自变 量 , 会得到所 求函数为y = 3sin (2x -π/2+π/3 )=3sin( 2x -π/6) ,会错选D.

三、和函数性质相关的错误

对三角函数性质的考察,历年高考都会出现,由于考生对题目的条件或要求不重视,从而导致失分.

1. 函数的单调区间及单调性

例4 (2014四川卷16)已知函数f(x) = sin( 3x +π/3) .

(Ⅰ)求f(x)的单调增区间;

(Ⅱ) 若α是第二象限角 ,f(α/3) = 4/5cos(α +π/4) cos2α,求cosα - sinα的值.

1考生不注意题目要求,将单调区间写成不等式或集合的形式,导致失分.

2此函数单调增区间有无穷多个, 考生只写其中一个[-π/4,π/12],导致失分.

3考生只写 出单调增 区间[2kπ/3-π/4,2kπ/3+π/12],忘记标(k∈Z). 导致失分.

4忽视了α是第二象限角,得到错误结论:,导致失分.

2. 忽视函数定义域 ,导致对函数的单调区间判断错误

例5 (2012北京卷15)已知函数求f(x)的单调递增区间.

考生可能会直接化简函数解析式, 忽视了函数定义域,导致写错函数的单调区间而失分.