线性规划常见问题例析

线性规划常见问题例析（精选六篇）

线性规划常见问题例析 篇1

一、抓思想方法———以不变应万变

数学思想不是凭空存在的, 简单线性规划是数形结合思想的天然载体之一.在复习时, 要明晰简单线性规划所运用的数学知识及渗透的数学思想, 要注意培养学生的迁移能力, 加强数形结合思想 (形神兼备, 有形才能行) , 并重视数学阅读, 渗透分类讨论和化归与转化的数学思想.能准确画出可行域, 掌握求目标函数的最值的方法, 切忌随手一画导致错解, 考试中常需利用目标函数或可行域的几何意义求解, 在复习时要加以关注.

二、聚焦高考线性规划的经典问题

(一) 考常规, 走平常路———“人易我易我不大意”

考查线性约束条件表示的平面区域的面积, 求线性目标函数的最优解等, 属于容易题, 要做到“人易我易我不大意”.

例1 (2016年全国卷Ⅲ) 若x, y满足约

(二) 关注应用

应用问题体现数学的实践性, 永远是热点.

例3 (2015年陕西卷) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示, 如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元, 则该企业每天可获得的最大利润为 () .

(A) 12万元 (B) 16万元

(C) 17万元 (D) 18万元

解析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨, 则利润z=3x+4y.

当直线3x+4y-z=0过点A (2, 3) 时, z取得最大值, 所以zmax=3×2+4×3=18.故选D.

(三) 参数化———动态风景

高考命题有意识让经典继续流行, 从而流行又成为经典, 线性规划中的含参问题便是一种流行的经典.常见类型有:已知可行域的形状或面积, 探究约束条件中参数的值或取值范围 (如例4) ;已知最优解或最优值, 探究目标函数中参数的值或取值范围 (如例5) ;已知最优解或最优值, 探究约束条件中参数的值或取值范围 (如例6) ;约束条件和目标函数中均有参数 (如例7) .

(C) 2或1 (D) 2或-1

解析:画出约束条件表示的平面区域, 如图4中阴影部分所示.z=y-ax取得最大值表示直线z=y-ax向上平移移动最大, a表示直线的斜率, 要使目标函数取得最大值的最优解不唯一, 则有两种情况:a=-1或a=2.故选D.

(A) -2 (B) -1

(C) 1 (D) 2

(A) -5 (B) 3

(C) -5或3 (D) 5或-3

(四) 顺水推舟, 适当拓展

例8 (2015年新课标全国卷Ⅰ) 若x, y

(A) 4 (B) 9

(C) 10 (D) 12

解析:不等式组表示的可行域是以A (0, -3) , B (0, 2) , C (3, -1) 为顶点的三角形区域, x2+y2表示点 (x, y) 到原点距离的平方, 最大值必在顶点处取到, 经验证最大值为|OC|2=10.故选C.

例10 (2015年浙江卷) 若实数x, y满足x2+y2≤1, 则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.

故填3.

评注:本题以线性规划为背景, 可行域是圆及其内部, 利用直线与圆的位置关系的判定, 将目标函数的两个绝对值符号中先去掉一个, 再利用分类讨论的思想去掉另外一个绝对值符号, 最后利用线性规划知识求解.

(五) 交汇成为主流

在“知识交汇处命题”的高考原则下, “学科内综合”成为追踪的热点, 从线性规划进入教材以来, 高考从简单平常走向“无极限”精彩, 线性规划与主干知识的交汇与“联姻”就是一种展示, 在纵横交错、多方联系中考查学生的综合与创新能力.线性规划可与命题 (如例11) 、函数 (如例12) “牵手”;可与向量 (如例13) 、程序框图 (如例14) “交叉渗透”;可与解析几何 (如例15) “联姻”;可与概率 (如例16) “嫁接”等等.

(A) 必要不充分条件

(B) 充分不必要条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解析:如图9, (x-1) 2+ (y-1) 2≤2表示圆心为 (1, 1) , 半径为槡2的圆内区域所有点 (包括边界) ;

所以 (x, y) = (m+2n, 2m+n) .

例14 (2014年四川卷) 执行如图12所示的程序框图, 如果输入的x, y∈R, 那么输出的S的最大值为 () .

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

解析:将程序框图问题转化为最常见的线性规划问题.答案为C.

例16 (2015年湖北卷) 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A, B两种奶制品, 生产1吨A产品需鲜牛奶2吨, 使用设备1小时, 获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨, 使用设备1.5小时, 获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍, 设备每天生产A, B两种产品的时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位:吨) 是一个随机变量, 其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产, 使其获利最大, 因此每天的最大获利Z (单位:元) 是一个随机变量.求Z的分布列和均值.

解析:设每天A, B两种产品的生产数量分别为x吨, y吨, 相应的获利为z元, 则

目标函数为z=1 000x+1 200y.

所以最大获利Z的分布列为

所以E (Z) =8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708.

(六) 乔装———更显风采

乍一看是函数、导数、数列等问题, 脱下耀眼的其他章节知识形式的外衣, 它们具备线性规划的条件, 用线性规划一解即得正确答案, 这就是乔装打扮的“包装”线性规划问题.乔装的线性规划给人耳目一新、云开雾散之感, 培养学生的“智慧视力”, 让学生有一双“慧眼”.

例17 (2008年四川卷) 设等差数列{an}的前n项和为Sn, S4≥10, S5≤15, 则a4的最大值是.

(七) 隐藏性问题———“我难人难我不畏难”

近几年高考隐藏性线性规划崭露头角, 主要是隐藏约束条件或目标函数, 需要通过换元、搭桥、变形等价转化为熟悉的线性规划问题.考查学生的迁移能力、化归与转化思想和数形结合思想.

解析:条件5c-3a≤b≤4c-a, cln b≥a+cln c可化为

作出 (x, y) 所在的平面区域, 如图14中阴影部分所示.求出y=ex过原点的切线为y=ex.

易判断切点P (1, e) 在顶点A, B之间.

例析天体的运动问题 篇2

例析天体的运动问题

运用万有引力定律、牛顿运动定律、向心力公式等力学规律求解天体的运动一直是高考命题频率较高的知识点.天体的.运动问题主要有三种题型.

作 者：翟杰予 作者单位：刊 名：中学生数理化(高一版)英文刊名：MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION)年，卷(期)：2009“”(2)分类号：P1关键词：

线性规划问题的几种题型例析 篇3

1． 基本问题

（1） （08年安徽理）如果实数x、y满足条件x-y+1≥0y+1≥0x+y+1≤0，那么2x-y的最大值为（）

A． 2

B． 1

C． -2

D． -3

解析：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是：画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最大值，如图所示显然是平行线过A点时取最大值，将A点坐标代入有

Zmax=1，故选择B

一般地，目标函数形如ax+by的形式的线性规划问题，可直接作出ax+by=0这样的函数进行平移求最值.

2． 考查可行域问题

(07北京卷)若不等式组x-y≥02x+y≤2y≥0x+y≤a表示的区域是一个三角形，则a的取值范围是.

解析：则图中的阴影为x-y≥02x+y≤2y≥0所表示的三角行区域.

直线x+y≤a所表示的区域应该在此直线的下方.所以要使x-y≥02x+y≤2y≥0x+y≤a表示的平面区域为三角形a的取值为0＜a≤1或a≥43.

该类题型在高考中时有出现，实际上就是如何正确求出线性规划可行域的运用，也可以说是线性规划思想的运用.

3． 考查目标函数与距离的关系

（1） 已知点P（x，y）的坐标满足条件x+y≤4y≥xx≥1点O为坐标原点，那么z=x2+y2的最小值等于,最大值等于.

解析：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝22 B（1，3），OB＝10

C（1，1），OC＝2 故|OP|的最大值为10，最小值为2.

本题约束条件是线性的，但目标函数却是非线性的，问题的解决

关键是能够很好的利用目标函数的几何特点，将求z=x2+y2

的最值问题转化为区域内的点到原点的距离问题，从而实现问题

的解决.解答这类与距离相关的线性规划问题，需要注意两点：

一是所求的最值可能是两点间的距离，也可能是点到直线的距离，

要结合所画的区域作出正确的判断；二是要明确最终所求的是距

离的最值还是距离平方的最值.

4． 考查最优解个数问题

（1） 已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为.

解析：本题是一个逆向思维问题，已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.

在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD=1,kAB=-1,目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB=-1，即-a＜-1，所以a的取值范围为(1，+∞)由解决问题的过程可见，本题的难度加大了，学生需要要良好逆向思维能力，问题转化能力和几何直观能力.

练习：

1． 在平面直角坐标系中，不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤2表示的平面区域的面积是.

解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积.由题知可行域为△ABC，S△ABC=｜4-0｜×22=4.

2． 设实数x, y满足x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0,则yx的最大值是.

解析：求yx的最大值问题可转化为区域内的点和原点的连线的斜率的最大值，画出可行域，如图所示，当原点和C1,32连线时，斜率最大，为32，由此说明yx的最大值为32.

总结：以上两题说明，在给定约束条件情况下，要利用好目标函数的几何意义，可以使我们能够站在系统的高度，把握问题的规律，有效地实现问题解决，而且有助于加深学生对数学知识的理解和深化.

3． 若a≥0,b≥0且当x≥0y≥0x+y≤1时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于.

方法(1) 变换思想:x′=axy′=by,区域x≥0y≥0x+y≤1变换为区域x′≥0y′≥0x′a+y′b≤1时 ,恒有x′+y′≤1成立,得到0≤a≤1,0≤b≤1则点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于1.

方法(2)：多元化归一元思想：由x+y≤1得到y≤1-x则ax+b(1-x)≤1.

对于任意的x∈［0,1］恒成立即ax+b(1-x)-1≤0对于任意的x∈［0,1］恒成立，令f(x)=(a-b)x+b-1则f(0)≤0f(1)≤0得到则点P(a,b)所形成的平面区域的面积为1.

高考作文常见结构例析 篇4





 这是散文、随笔类所用的结构。“形散而神不散”，追求意韵、意境的美。





[范文]

在心田上放牧





 太阳选择了白天，便慷慨地给大地一片阳光；月亮选择了夜空，就从容地撒下银辉；小路选择了前方，便延伸成一条康庄大道，跋涉者既然选择了征程，那么一定会风雨兼程……

 其实，自然万物包括人类何时何地不在选择？就好像牧人挥舞着鞭子，选择他的牛和羊。

 春风的选择是为了绿遍山野；夏雨的选择是为了挥酒豪情；秋雨的选择是为了收获鼓劲；冬雪的选择是为大地铺上了一层不夸饰的晶莹。

 选择是雪莱的“西风”，裴多菲的“旗帜”，也是艾青的“芦笛”，北岛的“回答”。

 选择是初春河上漂过的第一丝草垒，选择是暮晚天际掠过的第一只飞鸿，选择是第一个从树上走到地上的古猿……

 海有潮，山有脉，果有核，人同样需要有自己的选择，选择别人，更选择自己：

 毕加索选择了创作，饿着肚子写成了《烫衣妇》；

 鲁迅选择了文学，便把刀和枪毫不留情地投向茫茫的黑夜；

 李素丽选择了乘客，才会“为人民服务没有终点站”；

 王伟选择了国家，把身影留在了永恒的蓝天；

 许真惠选择了亲情，把三个弟妹拉扯成了博士生；

 汪洋湖选择了党性和人民群众，“勤政为民”成了他的一生恪守的座佑铭；

 李向党选择了奉献，才会二十年如一日忠于职守。

 毋宁说，选择就是钻探机，它使贫矿变富矿；选择就是滤网，它沉淀出人生的精华；选择是镜，折射出一个人的灵魂；选择是十字路口，你自己才是向导……

 “鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。”面对选择，怎能犹豫不决？作出你的选择，“熊掌”已在手。

 落叶选择归根，因为它要回报大地的恩赐；将士选择“不破楼兰誓不还”，因为拳拳爱国心充满心间；辛弃疾选择“铁马冰河入梦来”，因为他对国家是那样的爱……

 在心田上放牧，请握好自己的鞭子。

 提灯寻影，灯到影灭。坚守自己的选择，保存“生命的密码”，朋友，你会吗？





[结构点评]

本文一大特点是排比事例，以意象说理，大体按“选择是什么--怎样选择—为何选择”的结构行文。排比修辞的连续使用是其语言的特色。

常见病句例析（三十） 篇5

2005年高考语文试卷改病句的题目中有一个句子：“五一路乒乓球馆是经体育局和民政局批准的专门推广乒乓球运动的团体。”

这是一个以“是”字为动词谓语的判断句。常规情况下，“是”字句的主语和宾语一般有两种语义关系：一是同一关系，即主语和宾语所指对象相同，如“茅盾就是沈雁冰”；二是从属关系，即宾语表示大类，主语是其中之一，如“茅盾是著名文学家”。特殊的“是”字句还具有阐释作用，表示解释或描写，如“刘老师是近视眼”“今年又是一个丰年”；还可以表示一种存在关系，如“我家对面是商场”“屋子里全是人”等。

“是”字句主语和宾语在结构上没有直接关系，但从语义来说，要求主语和宾语表示的应是同类的或相关的事物。上面那个句子的陈述对象，即主语是“……乒乓球馆”，宾语却是“……团体”。“乒乓球馆”是供人们打乒乓球的地方，是建筑物或场所，而“团体”是由人组成的集体。二者既不属于同类事物，又无语义上的相关关系，所以是有语病的句子。这个句子只要把“团体”改为“场所”或把“馆”改为“队”就通顺了。

南京不是季节

周末，小李和小王相约登紫金山。

秋高气爽，碧天如洗。远处，蜿蜒曲折的长江似有若无；脚下，庄严肃穆的中山陵静卧在万绿丛中。

“秋天的南京是最美的季节！”小李不禁感叹起来。

“你说什么？”小王问道。

“我说秋天的南京是最美的季节。难道不是吗？”

“你说南京是什么？”

“我说南京是最美的——”小李不说了，他知道说错了，被小王抓到了把柄。

“秋天的南京是最美的季节”这个“是”字句，要求前面的主语跟后面宾语构成同类关系，然而“（秋天的）南京”和“（最美的）季节”却不是同类关系。这样主谓宾语明显不搭配，应该说成“南京的秋天是最美的季节”（判断句），或者说“秋天的南京是最美的”（描写句）。

一条败坏游兴的标语

国庆长假，结伴同去香山游玩。远望香山，山峦蜿蜒，红叶似火。进得公园，但见花团锦簇，游人如织。在前往双清别墅的路边，看到这样一块标语牌。那牌上写的是：“最好的运动是走路，最锻炼的走路方式是登山。”仔细读下来，竟然发现是一个有语病的句子。

问题就是那个“锻炼”。“锻炼”本义锻造冶炼，引申指通过某种行为使身体健壮或恢复健康，或提高能力和水平。一般说，表动作行为的动词前面是不能用“最”“很”“十分”“非常”之类的词来修饰限制的。所以“最锻炼”是说不通的。用它来作“走路方式”的定语也不行。

常见病句例析（二十九） 篇6

《江南时报》2007年7月3日的一篇文章《学开车竟练出“黑踵病”》中有一句话说：“张先生已经学开车二个多月，最近为了突击考试，几乎每天下午都在练车。”

从书面上看，这个句子似乎无大毛病。但是如果朗读一下，读出声音来，就会觉得这句话听来很别扭。因为口头上谁也不说“二个多月”，一般都是说“两个多月”。“二”和“两”所表示的数目是相同的，都是“一个加一个”；但在用法上有很大区别。在一般量词前，一位数用“两”不用“二”，多位数中个、十、百位数用“二”不用“两”；在传统的度量衡单位前，“二”“两”都可用，只是在质量单位几斤几两的“两”前用“二”不用“两”，例如“二两油”不能说“两两油”（《现代汉语规范词典》在词条“两”中有详细提示，可参看）。上面那句话中，“月”前的“二”是一位数，所以要换成“两”；如果说“十二个月”，那就要用“二”了。

在该用“两”的地方常常误写作“二”，一个重要原因是图省事，因为“二”的笔画少。只要记住，在口头上说“两”的时候，笔下就不要写作“二”，这样就不会出错了，因为中国人在口头上“二”和“两”一般是不会说错的。

不能说“每个孩子们”

孩子终于明白了“们”的用法，第二天他拿了《人民日报》（海外版）（2007年8月13日第6版《学中文的洋娃娃》）上的一句话来询问。这句话是：“学数数，连比带画才热闹，每个孩子们伸出小手学得可认真了。”

孩子的家长告诉他，这也是一个“们”字的病句。孩子接着问：“‘们是一个表复数的词缀。名词加了‘们后就不能再受数量的修饰。可是‘每个不是表复数的呀，为什么这也是个病句呢？”

家长让他翻阅《现代汉语规范辞典》，查“每”的代词用法。上面这样写：“指全体中的任何个体，强调个体的共同点。”孩子看了一知半解，嘀咕着说：“知道啦……但是为什么不能再加‘们呀？”